Question

如圖，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，將△ABC繞點C逆時針旋轉角α．（0°＜α＜90°）得到△A₁B₁C，連接BB₁，設CB₁交AB于D，A_lB₁分別交AB，AC于E，F．
（1）在圖中不再添加其它任何線段的情況下，除了△ABC≌△A₁B₁C，還有其他三對全等的三角形，請你全部寫出來（不用證明）；
（2）當BB₁=BD時，求α度數；
（3）設BD=x，△ACD的面積為y，求y與x的函數關系式．

Answer 1

分析：（1）根據旋轉的性質∠α=∠ACA₁，又由A₁C=B₁C，∠A₁=∠ABC=45°我們可得出三角形A₁FC和CBD全等．
三角形ACD和三角形B₁CF中，B₁C=BC=AC，∠A=∠CB₁F，又有一公共角因此構成了兩三角形全等中的ASA，兩三角形就全等了．
三角形AFE和B₁DE中，已知的有∠A=∠CB₁F=45°，一組對頂角相等，那么只要得出一組對應邊相等即可得出全等的結論．
由上面的△ACD≌△B₁CF可得出CF=CD，因為AC=B₁C，那么AF=B₁D因此就湊齊了三角形全等的條件，兩三角形全等．
（2）BB₁=BD我們可得出∠BB₁D=∠BDB₁，根據旋轉的性質我們知道CB₁=CB，那么∠B₁BC=∠BB₁C，∵∠B1DB=∠α+45°，
∠B₁BC=∠B₁BD+45°，∠B₁BC=∠BB₁C，因此∠B₁BD=∠α，三角形B₁BD中，
由三角形ACB是等腰直角三角形我們可得出，∠ABC=45°，因此∠B₁DB=∠B₁DB=∠α+45°，因此∠α+∠α+45+∠α+45=180，
∠α=30°
（3）可通過構建直角三角形來求解，作CM⊥AB，垂足為M，直角三角形ABC中，有直角邊的值我們不難求出斜邊AB的長，有了AB的值，我們就能用x表示出AD的長，現在的關鍵是找出AD邊上的高CM的值．直角三角形ACM中，∠A=45°，有斜邊AC的長，AD的高就可以求出了，那么根據三角形的面積公式，我們就能寫出關于x，y的函數關系式了．

解答：解：（1）△DBC≌△FA₁C，△ACD≌△B₁CF，△AFE≌△B₁DE；

（2）∵∠ACB=90°，AC=BC=2，
∴∠A=∠ABC=45°，
∵BB₁=BD，
∴∠BDB₁=∠BB₁D，
∵CB=CB₁，
∴∠CBB₁=∠CB₁B，
又∵∠BDB₁=∠DCB+∠DBC=α+45°，
∴∠CBB₁=∠CB₁B=∠BDB₁=α+45°，
又∵∠CBB₁+∠CB₁B+∠B₁CB=180°，
∴3α+90°=180°，
∴α=30°；

（3）在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，
∴AB=

AC2+BC2

=2

2

，
作CM⊥AB，垂足為M，
則AM=BM，
∴CM=

1

2

AB=

2

，
∵BD=x，
∴AD=AB-BD=2

2

-x，
∴△ACD的面積y=

1

2

AD•CM
=

1

2

(2

2

-x)•

2

=2-

2

2

x
∴y與x的函數關系式為y=2-

2

2

x．

點評：本題考查的是全等三角形的判定，等腰直角三角形的性質等知識點．本題中旋轉的性質的利用可以幫我們得出很多關于全等三角形的判定的條件．