Question

觀察等式：

1

1×2

=1-

1

2

，
          

1

2×3

=

1

2

-

1

3

，
         

1

3×4

=

1

3

-

1

4

，
將以上三個等式兩邊分別相加得

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

=1-

1

2

+

1

2

 -

1

3

+

1

3

-

1

4

=1-

1

4

=

3

4

．
（1）猜想并寫出：

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

．
（2）直接寫出下式的計算結果：

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

2010×2011

=

2010

2011

．
（3）探究并計算：

1

1×3

+

1

3×5

+

1

5×7

+…+

1

2009×2011

=

1005

2011

．

Answer 1

分析：（1）觀察已知等式，由特殊到一般，得出結論；
（2）由（1）的結論，將每個分數化為兩個分數，尋找抵消規律，計算結果；
（3）與（2）比較，分母的兩個因數相差2，故各分子需要乘以2，才能將一個分數拆分為兩個分數，再尋找抵消規律．

解答：解：（1）由已知等式，得

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
故答案為：

1

n

-

1

n+1

；
    
（2）由分數拆分，抵消規律可知，

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

2010×2011

=

2010

2011

，
故答案為：

2010

2011

；
     
（3）

1

1×3

+

1

3×5

+

1

5×7

+…+

1

2009×2011

=

1

2

（

2

1×3

+

2

3×5

+

2

5×7

+…+

2

2009×2011

）
=

1

2

（1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+

1

5

-

1

7

+…+

1

2009

-

1

2011

）
=

1

2

（1-

1

2011

）
=

1005

2011

．
故答案為：

1005

2011

．

點評：本題考查的是有理數的運算能力．關鍵是根據已知等式，由特殊到一般，得出分數的拆分規律和抵消規律．