Question

【題目】矩形ABCD中，DE平分∠ADC交BC邊于點E，P為DE上的一點（PE＜PD），PM⊥PD，PM交AD邊于點M．

（1）若點F是邊CD上一點，滿足PF⊥PN，且點N位于AD邊上，如圖1所示．

求證：①PN=PF；②DF+DN=DP；

（2）如圖2所示，當點F在CD邊的延長線上時，仍然滿足PF⊥PN，此時點N位于DA邊的延長線上，如圖2所示；試問DF，DN，DP有怎樣的數量關系，并加以證明．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】分析：（1）①利用矩形的性質，結合已知條件可證△PMN≌△PDF，則可證得結論；②由勾股定理可求得DM=DP，利用①可求得MN=DF，則可證得結論；

（2）過點P作PM1⊥PD，PM1交AD邊于點M1，則可證得△PM1N≌△PDF，則可證得M1N=DF，同（1）②的方法可證得結論．

詳解：（1）①∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ADC=90°．

又∵DE平分∠ADC，∴∠ADE=∠EDC=45°；

∵PM⊥PD，∠DMP=45°，∴DP=MP．

∵PM⊥PD，PF⊥PN，∴∠MPN+∠NPD=∠NPD+∠DPF=90°，∴∠MPN=∠DPF．

在△PMN和△PDF中，∵ ，

∴△PMN≌△PDF（ASA），∴PN=PF，MN=DF；

②∵PM⊥PD，DP=MP，∴DM2=DP2+MP2=2DP2，∴DM=DP．

∵又∵DM=DN+MN，且由①可得MN=DF，∴DM=DN+DF，∴DF+DN=DP；

（2）．理由如下：

過點P作PM1⊥PD，PM1交AD邊于點M1，如圖，

∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ADC=90°．

又∵DE平分∠ADC，∴∠ADE=∠EDC=45°；

∵PM1⊥PD，∠DM1P=45°，∴DP=M1P，∴∠PDF=∠PM1N=135°，同（1）可知∠M1PN=∠DPF．在△PM1N和△PDF中，，

∴△PM1N≌△PDF（ASA），∴M1N=DF，由勾股定理可得：=DP2+M1P2=2DP2，∴DM1DP．

∵DM1=DN﹣M1N，M1N=DF，∴DM1=DN﹣DF，∴DN﹣DF=DP．