Question

已知：如圖，PA為⊙O的切線，A為切點，割線PBC過圓心O，PA=4，PB=2．
（1）求BC、AB的長；
（2）若∠BAC的平分線與BC和⊙O分別相交于點D、E．求AE的長．

Answer 1

解：（1）設BC=x，PC=BC+BP=x+2，PA=4，
∵PA為⊙O的切線，PC為⊙O的割線，
∴PA²=PB•PC，即16=2（x+2），
解得：x=6，則BC=6；
∵PA為⊙O的切線，
∴∠PAB=∠C，又∠P=∠P，
∴△PBA∽△PAC，
∴，又PB=2，PA=4，
∴，
∴AC=2AB，
設AB=k，AC=2k，
∵CB為圓的直徑，∴∠CAB=90°，
在Rt△ABC中，由BC=6，
根據勾股定理得：BC²=AB²+AC²，
即36=k²+4k²，解得：k=，
則AB=；

（2）∵AE為∠CAB的平分線，∴∠CAE=∠BAE，
又∵AP為圓的切線，∴∠PAB=∠C，
∵∠PDA為△CAD的外角，
∴∠PDA=∠C+∠CAE，又∠PAD=∠PAB+∠BAD，
∴∠PAD=∠PDA，
∴PA=PD=4，
∴BD=DP-BP=4-2=2，CD=CB-BD=6-2=4，OD=CD-OC=4-3=1，
連接AO，OE，由PA為圓的切線，得到∠OAP=90°，
∴∠OAE+∠DAP=90°，
∵OA=OE，∴∠OAE=∠OEA，
又∠PAD=∠PDA=∠ODE，
∴∠OEA+∠ODE=90°，
∴∠EOD=90°，
在Rt△EOD中，由OD=1，OE=3，
由勾股定理得DE=，
由相交弦定理得：AD•DE=BD•CD，
∴AD===，
則AE=AD+DE=+=．
分析：（1）設出BC為x，由BP=2，根據BC+BP表示出PC，再由PA的長，利用切割線定理列出關于x的方程，求出方程的解即可得到BC的長；由PA為圓的切線，根據弦切角等于夾弧所對的圓周角得到一對角相等，再由一對公共角，根據兩對對應角相等的兩三角形相似可得△PBA∽△PAC，根據相似得比例，把PB和PA的長代入得到AC=2AB，又CB為圓的直徑，故所對的圓周角為直角，得到三角形ABC為直角三角形，設AB=k，則AC=2k，再由BC的長，利用勾股定理列出關于k的方程，求出方程的解即可得到k的值，即為AB的長；
（2）由AE為角平分線，根據角平分線的定義得到一對角相等，再由弦切角等于夾弧所對的圓周角得到另一對角相等，根據三角形的外角性質，等量代換及對頂角相等可得∠PAD=∠PDA，根據等角對等邊得到PA=PD=4，進而分別求出BD，CD及OD的長，連接OE，OA，由PA為圓的切線，得到∠OAP=90°，即∠OAE+∠DAP=90°，又OE=OA，根據等邊對等角得到∠OAE=∠OEA，由剛才得到∠PAD=∠PDA=∠ODE，等量代換可得∠EOD=90°，從而在直角三角形EOD中，由OD與OE的長根據勾股定理求出DE的長，然后利用相交弦定理求出AD的長，由DE+AD即可求出AE的長．
點評：此題綜合考查了切線的性質，勾股定理，相似三角形的判定與性質，相交弦定理以及切割線定理，其中見了有切線，圓心切點連，利用切線性質將相切轉化為垂直，即構造直角三角形，通過列方程的方法來解決問題中所需的量，此方法稱為“構圖建模計算法”，要求學生把所學知識融匯貫穿，靈活運用．本題的第三問中注意利用轉化的思想來解決角度之間的關系．