Question

如圖，拋物線y=

1

2

x²+bx+c與y軸交于點C，與x軸相交于A，B兩點，點A的坐標為（2，0），點C的坐標為（0，-4）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點Q是線段OB上的動點，過點Q作QE∥BC，交AC于點E，連接CQ，設OQ=m，當△CQE的面積最大時，求m的值，并寫出點Q的坐標；
（3）若平行于x軸的動直線，與該拋物線交于點P，與直線BC交于點F，D的坐標為（-2，0），則是否存在這樣的直線l，使OD=DF？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用待定系數法求二次函數解析式即可得出答案；
（2）首先求出△AEQ∽△ACB進而得出EG=

2m+4

3

，再利用S_△CQE=S_△ACQ-S_△AEQ得出關于m的二次函數關系進而得出答案；
（3）得出F（-2，-2）進而代入y=

1

2

x²+x-4求出P點坐標即可．

解答：解：（1）把x=2，y=0；x=0，y=-4代入y=

1

2

x²+bx+c，
得

0= 1 2 ×4+2b+c -4=c.

解得

b=1 c=-4.

故所求拋物線的解析式為y=

1

2

x²+x-4．           

（2）如圖1，作EG⊥AQ于點G，由（1）可知，點B的坐標為（-4，0）．
∴CO=4，AB=6，AQ=m+2．
∵QE∥BC，
∴△AEQ∽△ACB．
∴

EG

CO

=

AQ

AB

，即

EG

4

=

m+2

6

．
∴EG=

2m+4

3

．
∴S_△CQE=S_△ACQ-S_△AEQ=

1

2

AQ•CO-

1

2

AQ•EG=

1

2

(m+2)(4-

2m+4

3

)，
=-

1

3

m2+

2

3

m+

8

3

=-

1

3

(m-1)2+3．
當m=1時，當△CQE的面積最大．
此時，點Q的坐標為（-1，0）．                  

（3）若存在，如圖2，
∵點B的坐標為（-4，0），D的坐標為（-2，0），DO=DF，
∴DB=DF．∴∠ABC=∠BFD．
∵OC=OB，∠ABC=∠BCO=45°．
∴∠ABC=∠BFD=45°．
∴FD⊥AB．
則F（-2，-2）．
∴

1

2

x²+x-4=-2．
解得x₁=-1-

5

，x₂=-1+

5

．
所以點P的坐標為（-1-

5

，-2）或（-1+

5

，-2）．

點評：此題主要考查了二次函數的綜合應用以及相似三角形的判定與性質等知識，根據相似三角形的判定與性質得出△AEQ∽△ACB是解題關鍵．