Question

（2009•常德）已知二次函數(shù)過點(diǎn)A（0，-2），B（-1，0），C（）
（1）求此二次函數(shù)的解析式；
（2）判斷點(diǎn)M（1，）是否在直線AC上；
（3）過點(diǎn)M（1，）作一條直線l與二次函數(shù)的圖象交于E、F兩點(diǎn)（不同于A，B，C三點(diǎn)），請自已給出E點(diǎn)的坐標(biāo)，并證明△BEF是直角三角形．

Answer 1

【答案】分析：（1）已知二次函數(shù)過點(diǎn)A（0，-2），B（-1，0），C（），欲求解析式，只需用待定系數(shù)法進(jìn)行求解．
（2）由（1）中A、C坐標(biāo)，通過待定系數(shù)法可求出直線AC解析式，把M坐標(biāo)代入解析式里，看解答結(jié)果是否等于，若是，則M在AC上，反之不在．
（3）首先E點(diǎn)坐標(biāo)應(yīng)符合拋物線，然后可根據(jù)待定系數(shù)法求出直線EM的解析式，結(jié)合二次函數(shù)解析式組成方程組，進(jìn)而求出F點(diǎn)坐標(biāo)．要想證明△BEF是直角三角形，則必須符合兩邊的平方和等于第三邊的平方，這就需要我們依次求出BE、BF、EF或者是它們的平方進(jìn)行判定．
解答：解：（1）設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=ax²+bx+c（a≠0），
把A（0，-2），B（-1，0），C（）代入
得
解得a=2，b=0，c=-2，
∴y=2x²-2（3分）；

（2）設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b（k≠0），
把A（0，-2），C（）代入得，
解得k=，b=-2，
∴y=x-2
當(dāng)x=1時(shí)，y=×1-2=
∴M（1，）在直線AC上（5分）；

（3）設(shè)E點(diǎn)坐標(biāo)為（-，-），則直線EM的解析式為
由
化簡得，
即，
∴F點(diǎn)的坐標(biāo)為（）．（6分）
過E點(diǎn)作EH⊥x軸于H，則H的坐標(biāo)為（-，0）．
∴EH=，BH=
∴BE²=（）²+（）²=，
同理可得：，
，（9分）
∴BE²+BF²=，
∴△BEF是直角三角形．（10分）
點(diǎn)評：此題主要考查了待定系數(shù)法以及勾股定理逆定理的應(yīng)用，難易程度適中．