Question

已知二次函數y=-

1

2

x2+2的圖象與x軸交于B，C兩點（點B在點C的左邊），與y軸交于點A，E，F分別是線段AB，AC上的點，且OE⊥OF
（1）求A，B，C三點的坐標
（2）猜測△EOF是什么三角形，并證明你的猜測
（3）若EF與OA交于點G，試探究∠AEO與∠AGF的關系，結論：∠AEO

=

∠AGF（填上＞，＜，=），并請證明
（4）當點E，F分別在線段AB，AC上運動時，四邊形AEOF的面積是否發生變化？若不變，請說明理由，若變化，請求其值的變化范圍．

Answer 1

分析：（1）當x=0時，求出y的值就可以求出A點的坐標，當y=0時，求出x的值就可以求出點B、C的坐標．
（2）由（1）的結論可以求出OA、OB、OC、AB、AC的長度，由勾股定理的逆定理可以證明△ABC是等腰直角三角形，進而可以證明△OEA≌△OFC，從而證明△EOF是等腰直角三角形．
（3）由（2）的結論外角與內角的關系可以得出∠AEO=∠OEF+∠AEG與∠AGF=∠BAG+∠AEG，再由∠BAO=∠OEF=45°，從而可以得出∠AEO與∠AGF的大小關系．
（4）由（2）可知△EOA≌△FOC，可以得出S_△EOA=S_△FOC，則四邊形AEOF的面積就等于S_△AOC的面積．從而得出結論．

解答：解：（1）令x=0得y=2，∴A（0，2）
令y=0得-

1

2

x2+2=0，
解得x=±2，
∴B（-2，0），C（2，0）

（2）猜測△EOF是等腰直角三角形        
證明：∵A（0，2），B（-2，0），C（2，0），
∴OA=OB=OC=2，BC=4，由勾股定理可以求出AB=BC=2

2

，
∴BC²=AB²+AC²
∴△ABC是直角三角形，
∵AB=BC，
∴△ABC是等腰直角三角形
∴∠BAC=90°，∠OBA=∠OCA=45°
同理∠OCA=∠OAC=45°
∴∠OAB=∠OCA=45°
∵OE⊥OF
∴∠EOF=90°，即∠AOE+∠AOF=90°，
∵∠AOF+∠FOC=90°
∴∠AOE=∠FOC
∴△EOA≌△FOC，
∴OE=OF，
∴△EOF是等腰直角三角形．

（3）∠AEO=∠AGF
證明：∵△EOF是等腰直角三角形
∴∠OEF=45°，
∵∠BAO=45°，
∴∠OEF=∠BAO，
∵AGF=∠BAO+∠AEG，∠AEO=∠AEG+∠OEF，
∴∠BAO+∠AEG=∠AEG+∠OEF，
即∠AEO=∠AGF
故答案為：=．

（ 4 ） 四邊形AEOF的面積不會發生變化．
證明：∵△AOE≌△COF，
∴S_△AOE=S_△COF，
∵S_{四邊形EOFA}=S_△AOE+S_△AOF
∴S_{四邊形EOFA}=S_△AOF+S_△OFC，
∴S_{四邊形EOFA}=S_△AOC，
∵S_△AOC是定值
∴當點E，F運動時，四邊形AEOF的面積不發生變化．

點評：本題是一道二次函數的綜合試題，考查了二次函數圖象上的點的坐標的特征，全等三角形的判定與性質，等腰直角三角形的性質及勾股定理的運用．