Question

如圖，已知C是線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），分別以AC、BC為斜邊并且在AB的同一側(cè)作等腰直角△ACD和△BCE，連接AE交CD于M，連接BD交CE于N．給出以下三個(gè)結(jié)論：①M(fèi)N∥AB；②=+；③MN=AB．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是

1. A.
   0
2. B.
   1
3. C.
   2
4. D.
   3

Answer 1

C
分析：（1）用平行線分線段成比例定理；
（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，化簡分式可得；
（3）要利用二次函數(shù)最值即可求解．
解答：（1）∵CD∥BE，
∴△CND∽△ENB，∴=①
∵CE∥AD，
∴△AMD∽△EMC，∴=②
∵等腰直角△ACD和△BCE，
∴CD=AD，BE=CE，
∴=
∴MN∥AB，故本小題正確；
（2）∵CD∥BE，
∴△CND∽△ENB，
∴=，
設(shè)==k，
則CN=kNE，DN=kNB，
∵M(jìn)N∥AB，
∴===，==，
∴+=1，
∴=+，故本小題正確；
（3）∵=+，
∴MN==，
設(shè)AB=a（常數(shù)），AC=x，則MN=x（a-x）=-（x-a）²+a≤a，故本小題錯(cuò)誤．
故選C．
點(diǎn)評：本題考查的是相似三角形的判定與性質(zhì)及直角三角形的性質(zhì)，平行線分線段成比例定理、比例變形及二次函數(shù)的應(yīng)用．