Question

如圖，在平面直角坐標系xoy中，直角梯形OABC的頂點O為坐標原點，頂點A、C分別在x軸、y軸的正半軸上，CB∥OA，OC=4，BC=3，OA=5，點D在邊OC上，CD=3，過點D作DB的垂線DE，交x軸于點E． 
（1）求點E的坐標；
（2）二次函數y=-x²+bx+c的圖象經過點B和點E．
①求二次函數的解析式和它的對稱軸；
②如果點M在它的對稱軸上且位于x軸上方，滿足S_△CEM=2S_△ABM，求點M的坐標．

Answer 1

分析：（1）根據平行線的性質與等腰三角形的判定與性質，即可求得OE=OD，則可求得點E的坐標；
（2）①利用待定系數法，由二次函數y=-x²+bx+c的圖象經過點B和點E，即可求得二次函數的解析式，則可求得對稱軸方程；
②由S_△CEM=S_梯形OFMC-S_△MEF-S_△COE，分別從當點M位于線段BF上時與當點M位于線段FB延長線上時分析即可求得答案，注意不要漏解．

解答：解：（1）∵BC∥OA，
∴BC⊥CD，
∵CD=CB=3，
∴∠CDB=45°，
∵BD⊥DE，
∴∠ODE=45°，
∴OE=OD=1，
∴E（1，0）；

（2）①易知B（3，4），由（1）得E（1，0），
∵二次函數y=-x²+bx+c的圖象經過點B和點E．
∴

-9+3b+c=4 -1+b+c=0

，
解之得

b=6 c=-5

，
∴二次函數的解析式為y=-x²+6x-5，
∴對稱軸為直線x=3；
②設對稱軸與x軸交于點F，點M的坐標為（3，t），
S_△CEM=S_梯形OFMC-S_△MEF-S_△COE=

1

2

（4+t）×3-

1

2

×2×t-

1

2

×1×4=

1

2

t+4，
（ⅰ）當點M位于線段BF上時，S_△ABM=

1

2

（4-t）×2=4-t，
∵S_△CEM=2S_△ABM，
∴

1

2

t+4=2（4-t），
解得：t=

8

5

，
∴M（3，

8

5

）；
（ⅱ）當點M位于線段FB延長線上時，S_△ABM=

1

2

（t-4）×2=t-4，
∵S_△CEM=2S_△ABM，
∴

1

2

t+4=2（t-4），
解得：t=8，
∴M（3，8）．

點評：此題考查了待定系數法求二次函數的解析式，等腰三角形的判定與性質以及三角形面積問題．此題綜合性很強，難度較大，注意數形結合思想與分類討論思想的應用．