Question

如圖，矩形ABCD中，AB=4，AD=5，將矩形ABCD繞點A順時針旋轉，得到矩形AMNP，直線MN分別與邊BC、CD交于點E、F．
（1）判斷BE與ME的數量關系，并加以證明；
（2）當△CEF是等腰三角形時，求線段BE的長；
（3）設x=BE，y=CF•（AB²-BE²），試求y與x之間的函數關系式，并求出y的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據旋轉的性質可得AB=AM，然后利用“HL”證明Rt△ABE和Rt△AME全等，根據全等三角形對應邊相等證明即可；
（2）先判定等腰△CEF是等腰直角三角形，根據等腰直角三角形的性質求出∠CEF=45°，延長AM交BC于G，然后求出△MEG和△ABG都是等腰直角三角形，根據等腰直角三角形的性質AB=BG，EG=EM，再根據全等三角形對應邊相等可得BE=EM，然后列出方程求解即可；
（3）求出△ABG、△ECF、△EMG三個三角形相似，再根據△ABG∽△ECF利用相似三角形對應邊成比例列式用EG表示出CF，根據△ECF∽△EMG利用相似三角形對應邊成比例用EF表示出EG，然后根據勾股定理列式表示出EF，然后整理得到關于CF的一元二次方程，求解得到CF的表達式，再代入等式整理即可得到y與x的關系式，再根據CF的長求出x的取值范圍，然后根據二次函數的最值問題解答．
解答：解：（1）BE=ME．
∵矩形ABCD旋轉得到矩形AMNP，
∴AB=AM，∠AMM=∠B=90°，
∴∠AME=180°-90°=90°，
在Rt△ABE和Rt△AME中，，
∴Rt△ABE≌Rt△AME（HL），
∴BE=ME；

（2）∵△CEF是等腰三角形，∠C=90°，
∴△CEF是等腰直角三角形，
∴∠CEF=45°，
延長AM交BC于G，則△MEG和△ABG都是等腰直角三角形，
又∵Rt△ABE≌Rt△AME，
∴BE=ME，
在△ABG中，AB=BG=4，
在△EMG中，EG=ME=BE，
∴BG=BE+EG=BE+BE=4，
∴BE==4-4，
即BE=4-4；

（3）∵∠AGB=∠EGM，∠B=∠EMG=90°，
∴△ABG∽△EMG，
∵∠MEG=∠CEF，∠C=∠EMG=90°，
∴△EMG∽△ECF，
∴△ABG∽△ECF∽△EMG，
由△ABG∽△ECF得，=，
即=，
整理得，CF=，
由△ECF∽△EMG得，=，
即=，
整理得，EG=，
在Rt△CEF中，EF==，
∴CF=，
∴4CF=5x-x²+x，
解得CF=，
又∵AB²-BE²=16-x²，
∴y=×（16-x²）=-8x²+40x，
∵CF=≤4，
整理得，x²-10x+16≥0，
解得x≤2或x≥8（舍去），
∴0＜x≤2，
∵y=-8x²+40x的對稱軸為直線x=-=，
∴當x=2時，拋物線有最大值，y_max=-8×2²+40×2=48．
點評：本題考查了旋轉的性質，全等三角形的判定與性質，等腰直角三角形的判定與性質，二次函數的最值問題，矩形的性質，第（3）問比較難，分別利用相似三角形對應邊成比例以及勾股定理用x表示出CF是解題的關鍵，根據CF的長度求出x的取值范圍也很關鍵．