Question

（2005•無錫）已知正方形ABCD的邊長AB=k（k是正整數），正△PAE的頂點P在正方形內，頂點E在邊AB上，且AE=1．將△PAE在正方形內按圖1中所示的方式，沿著正方形的邊AB、BC、CD、DA、AB、…連續地翻轉n次，使頂點P第一次回到原來的起始位置．

（1）如果我們把正方形ABCD的邊展開在一直線上，那么這一翻轉過程可以看作是△PAE在直線上作連續的翻轉運動．圖2是k=1時，△PAE沿正方形的邊連續翻轉過程的展開示意圖．請你探索：若k=1，則△PAE沿正方形的邊連續翻轉的次數n=______時，頂點P第一次回到原來的起始位置；
（2）若k=2，則n=______時，頂點P第一次回到原來的起始位置；若k=3，則n=______時，頂點P第一次回到原來的起始位置；
（3）請你猜測：使頂點P第一次回到原來的起始位置的n值與k之間的關系（請用含k的代數式表示n）．

Answer 1

【答案】分析：正△PAE的頂點P在正方形內按圖1中所示的方式連續地翻轉，頂點P第一次回到原來的起始位置，實際上正方形周長和與三角形的周長和相等，正方形的周長=4k，三角形的周長=3，即找4k，3的最小公倍數，由此求出k=1，2，3時n的值；故當k是3的倍數時，n=4k；當k不是3的倍數時，n=12k．
解答：解：正△PAE的頂點P在正方形內按圖1中所示的方式連續地翻轉，頂點P第一次回到原來的起始位置，實際上正方形周長和與三角形的周長和相等，正方形的周長=4k，三角形的周長=3，即找4k，3的最小公倍數；
（1）當k=1時，4k，3的最小公倍數是12，故n=12；

（2）當k=2時，4k，3的最小公倍數是24，故n=24；當k=3時，4k，3的最小公倍數是12，故n=12；

（3）當k是3的倍數時n=4k，當k不是3的倍數時n=12k．
點評：本題考查了等邊三角形在正方形中的翻轉中周長的最小公倍數問題，注意找到等量關系．