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在四邊形ABCD中,∠B+∠D=180°,AB=AD,AC=1,∠ACD=60°,則四邊形ABCD的面積為   
【答案】分析:首先過A點(diǎn)分別作AE⊥BC于E,AF⊥CD于F構(gòu)造△AEB,通過角邊角定理證得△AEB≌△AFD.再根據(jù)若平面上四點(diǎn)連成四邊形的對(duì)角互補(bǔ)或一個(gè)外角等于其內(nèi)對(duì)角,那么這四點(diǎn)共圓判定ABCD四點(diǎn)共圓.從而證得△ABD是等邊三角形.最后根據(jù)正弦定理求得S△AEC、S△AEC進(jìn)而求得四邊形ABCD的面積.
解答:解:過A點(diǎn)分別作AE⊥BC于E,AF⊥CD于F,連接BD,

∵∠ADF+∠ABC=180°,且∠ABE+∠ABC=180°,
∴∠ADF=∠ABE,且A,B,C,D四點(diǎn)共圓,
又∠ACD=60°,
∴∠ABD=∠ACD=60°,又AB=AD,
∴△ABD是等邊三角形,
∴∠BAD=60°,
∴∠EAF=∠EAB+∠BAF,∠BAD=∠FAD+∠BAF,
∴∠EAF=∠BAD=60°,
∴∠EAC=180°-60°=120°,
∴∠AEC=60°,
∴S△AEC=EC•AE=AB•sin60°•AB•cos60°=
同理S△AFC=
在△ABE與△ADF中,
∵∠ADF=∠ABE,AB=AD,∠AEB=∠AFD,
∴△AEB≌△AFD,
∴S四邊形ABCD=S四邊形AECF=S△AEC+S△AFC=+=
故答案為:
點(diǎn)評(píng):本題考查圓的性質(zhì)與判定、三角形的面積計(jì)算,是一道典型的幾何綜合題目.解決本題的關(guān)鍵是構(gòu)造△AEB≌△AFD,根據(jù)四點(diǎn)共圓的性質(zhì)與判定,求得∠AEC=60°.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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