Question

如圖，△ABC中，∠C=90°，BC=5，AC=12，點P從點C出發，以每秒1個單位長度的速度向點B作勻速運動，到達點B后，立刻以原速度返回，到達C后再返回，如此循環；點Q同時從點B出發，向點A以每秒1個單位長度的速度勻速運動，到達點A時停止運動，當點Q停止運動時點P也停止運動．設點P、Q運動的時間為t秒（t＞0），
（1）當t=2時，BP=______，Q到BC的距離是______；
（2）在點P第一次向B運動的過程中，求四邊形ACPQ的面積與t的函數關系式（不寫t的取值范圍）；
（3）在點P、Q運動的過程中，四邊形ACPQ能否成為直角梯形？若能，請直接寫出t的值；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知可得：BP=BC-PC=5-t，即可求得BP的長；過點Q作QD⊥BC于D，易證：△BDQ∽△BCA，由相似三角形的對應邊成比例，即可求得DQ的長，即是Q到BC的距離；
（2）首先根據（1）中的知識，求得QD的長，又由S_{四邊形ACPQ}=S_△ABC-S_△BPQ，代入求值即可得到答案；
（3）由相似三角形的對應邊成比例，即可求得t的值．
解答：解：（1）由題意得：PC=t，BP=BC-PC=5-t，
∴當t=2時，BP=3，
過點Q作QD⊥BC于D，
∵∠C=90°，
∴QD∥AC，
∴△BDQ∽△BCA，
∴，
∵BC=5，AC=12，BQ=t=2，
∴AB==13，
∴
∴DQ=；
∴Q到BC的距離是；
故答案為：3，．

（2）過Q作QD⊥BC于D，由△QBD∽△ABC，
可得：QD=，
∴S_{四邊形ACPQ}=S_△ABC-S_△BPQ=×5×12-（5-t）•=t²-t+30；

（3）能，
當PQ∥AC時，四邊形ACPQ能成為直角梯形，
∴∠QPB=∠C=90°，
∵BQ=t，BP=5-t，PQ=t，
∵BQ²=BP²+PQ²，
∴t=，
∵點Q到達A需13s，
同理：當P從B返回時，由B→C，
BQ=t，BP=t-5，PQ=t，
即可求得t=，
當P從C第二次向B運動時，
BQ=t，BP=15-t，PQ=t，
即可求得t=，
∴t=或，
∴t的值為或或．
點評：此題考查了相似三角形的判定與性質，勾股定理以及三角形面積的求解等知識．此題綜合性較強，難度適中，注意數形結合思想的應用．