Question

如圖，AB為⊙O的直徑，C、D為⊙O上的點(diǎn)；OC⊥AD，CF⊥DB于F．
（1）求證：CF為⊙O的切線；
（2）若BF=1，DB=3，求⊙O的半徑．

Answer 1

分析：（1）利用圓周角定理以及垂直于同一直線的兩條直線平行得出∠OCF=90°，即可得出答案；
（2）利用切割線定理以及相似三角形的判定得出△BFC∽△BCA，進(jìn)而利用相似三角形的性質(zhì)得出即可．

解答：（1）證明：∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，
又∵OC⊥AD，CF⊥DB，
∴CO∥DF，
∴∠OCF=90°，
∴CF為⊙O的切線；

（2）解：連接BC，
∵CF為⊙O的切線，
∴FC²=FB×FD，
∵BF=1，DB=3，
∴FC=2，
∴BC=

22+12

=

5

，
∵∠ACO+∠OCB=90°，∠OCB+∠BCF=90°，
∴∠ACB=∠FCB，
又∵∠ACB=∠F，
∴△BFC∽△BCA，
∴

BC

AB

=

BF

BC

，
∴

5

AB

=

1

5

，
解得：AB=5．

點(diǎn)評：此題主要考查了切線的判定和相似三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)已知得出△BFC∽△BCA是解題關(guān)鍵．