Question

13、已知二次函數y=ax²+bx+a，且當x₁=0，x₂=2a時，相對應的y₁=y₂，若此函數圖象與x軸沒有交點，則a的取值范圍是

-1＜a＜1且a≠0

．

Answer 1

分析：首先利用當x₁=0，x₂=2a時，相對應的y₁=y₂得到有關a、b的關系式，并用a表示b，利用其圖象與橫軸沒有交點可得得到有關a的不等式，進而求得a的取值范圍．

解答：解：∵當x₁=0，x₂=2a時，相對應的y₁=y₂，
∴a=4a³+2ab+a
整理得：4a³+2ab=0，
即：a（4a²+2b）=0，
∵a≠0，
∴4a²+2b=0，
解得：b=-2a²，
∵此函數圖象與x軸沒有交點，
∴△=b²-4a×a=b²-4a²=4a⁴-4a²＜0，
解得：-1＜a＜1，
故答案為：-1＜a＜1且a≠0

點評：本題考查了拋物線與橫軸的交點問題，解題的關鍵是得到a、b之間的關系，從而代入到根的判別式中求得a的取值范圍．