Question

讓我們借助平面直角坐標系，一起探索圓的一種奇特的性質．
如圖，以平面直角坐標系xOy的原點O為圓心，2個單位長為半徑作⊙O，⊙O分別交x軸的負半軸及y軸正半軸于C、D兩點，已知A（1，0），B（4，0）．
（1）填空：AC：BC=

1：2

，AD：BD=

1：2

；
（2）如果點P是圓上一個動點，那么上述結論是否仍然成立？請以點P在第二象限的情況進行探索．
解：（2）不妨假設點P在第二象限，且沒點P坐標為（x，y），
根據勾股定理可得：x²+y²=

4

．（請你繼續做下去并在最后對本小題的問題作出回答．）

Answer 1

分析：（1）根據點A、B、C和D的坐標，求出AC、BC、AD和BD的長，繼而求解即可；
（2）利用勾股定理及兩點間的距離公式求解．

解答：解：（1）AC=3，BC=6，AC：BC=1：2；AD=

5

，BD=2

5

，AD：BD=1：2；
（2）x²+y²=4，

PA

PB

=

(1-x)2+y2

(4-x)2+y2

=

5-2x

20-8x

=

1

2

．
結論是：⊙O上的任何一點到A、B兩點的距離之比都是1：2．
故答案為：1：2；1：2；4．

點評：本題考查點的坐標、兩點間的距離公式及勾股定理的知識，是一道小的綜合題，但難度一般．