Question

在形如a^b=N的式子中，我們已經研究過兩種情況：
①已知a和b，求N，這是乘方運算；
②已知b和N，求a，這是開方運算；
現在我們研究第三種情況：已知a和N，求b，我們把這種運算叫做對數運算．
定義：如果a^b=N（a＞0，a≠1，N＞0），則b叫做以a為底N的對數，記作b=log_aN．
例如：求log₂8，因為2³=8，所以log₂8=3；又比如∵2-3=

1

8

，∴log2

1

8

=-3．
（1）根據定義計算：
①log₃81=

 

；②log₁₀1=

 

；③如果log_x16=4，那么x=

 

．
（2）設a^x=M，a^y=N，則log_aM=x，log_aN=y（a＞0，a≠1，M、N均為正數），
∵a^x•a^y=a^x+y，∴a^x+y=M•N∴log_aMN=x+y，即log_aMN=log_aM+log_aN
這是對數運算的重要性質之一，進一步，我們還可以得出：log_aM₁M₂M₃…M_n=

 

．
（其中M₁、M₂、M₃、…、M_n均為正數，a＞0，a≠1）．
（3）請你猜想：loga

M

N

=

 

（a＞0，a≠1，M、N均為正數）．

Answer 1

分析：閱讀題目，明確對數的定義、積的對數和商的對數的運算法則，可逐步推出結果．

解答：解：（1）①因為3⁴=81，所以log₃81=4；②因為10⁰=1，所以log₁₀1=0；③因為2⁴=16，所以x=2．
（2）結合題意的分析，可知log_aM₁M₂M_3…M_n=log_aM₁+log_aM₂+…+log_aM_n．
（3）因為log_aMN=log_aM+log_aN，所以可猜想：loga

M

N

=log_aM-log_aN（a＞0，a≠1，M、N均為正數）．

點評：本題是一種新的運算，讀懂題目信息，理解對數與乘方的關系是求解的關鍵．