Question

（2009•肇慶）已知一元二次方程x²+px+q+1=0的一根為2．
（1）求q關于p的關系式；
（2）求證：拋物線y=x²+px+q與x軸有兩個交點；
（3）設拋物線y=x²+px+q的頂點為M，且與x軸相交于A（x₁，0）、B（x₂，0）兩點，求使△AMB面積最小時的拋物線的解析式．

Answer 1

【答案】分析：（1）把x=2代入可求得q與p的關系式；
（2）由△=b²-4ac可判斷拋物線與x軸的交點情況；
（3）先寫出該拋物線的頂點坐標，方程根與系數關系可求線段AB的長，進而求得△AMB的面積表達，從而求得最小值．
解答：（1）解：把x=2代入得2²+2p+q+1=0，即q=-（2p+5）；

（2）證明：∵一元二次方程x²+px+q=0的判別式△=p²-4q＞0，
由（1）得△=p²+4（2p+5）=p²+8p+20=（p+4）²+4＞0，（3分）
∴一元二次方程x²+px+q=0有兩個不相等的實根．（4分）
∴拋物線y=x²+px+q與x軸有兩個交點；（5分）

（3）解：拋物線頂點的坐標為，（6分）
∵x₁，x₂是方程x²+px+q=0的兩個根，
∴，
∴．（7分）
∴，（8分）
要使S_△AMB最小，只須使p²-4q最�。�
由（2）得△=p²-4q=（p+4）²+4，
所以當p=-4時，有最小值4，此時S_△AMB=1，q=3．（9分）
故拋物線的解析式為y=x²-4x+3．（10分）
點評：考查了代入法、判別式△的使用，以及一元二次方程中根與系數的關系、三角形面積的求法、最大最小值的求解等內容．