Question

如圖9, 已知拋物線與軸交于A (－4，0) 和B(1，0)兩點，與軸交于C（0，-2）點．
【小題1】求此拋物線的解析式；
【小題2】設G是線段BC上的動點，作GH//AC交AB于H，連接CF，當△BGH的面積是△CGH面積的3倍時，求H點的坐標;
【小題3】若M為拋物線上A、C兩點間的一個動點，過M作軸的平行線，交AC于N，當M點運動到什么位置時，線段MN的值最大，并求此時M點的坐標

Answer 1

【小題1】設二次函數解析式為y=a(x－x₁)(x－x₂)
∵二次函數與軸交于、兩點可得：
　　　　　　∴x₁ =－4    x₂=1……………………………………………….1分
∴y=a(x+4)(x－1)
把C（0，-2）代入y=a(x+4)(x－1)得：a=
　　　　　　故所求二次函數的解析式為y= (x+4)(x－1)
=x²+x－2．
【小題2】∵S_△BGH ="2" S_△CGH
……………………………………………4分
∵GH//AC, ,
        ∴△BGH～△BAC,
 ……………6分
故E點的坐標為(，0).    ………………………….7分
【小題3】若設直線的解析式為
∵ A、兩點的坐標分別為（－4,0）、（0，－2）．
則有　解得：  
故直線的解析式為．……………………8分       
若設M點的坐標為，又N點是過點M所作軸的平行線與直線的交點，則N點的坐標為（．則有：
　　　　　　　MN=＝
＝……………………………………….9分
即當時，線段MN取大值，此時M點的坐標為（－2，－3）…………10分解析:
（1）將A、B的坐標代入拋物線的解析式中，即可求出待定系數的值；
（2）根據拋物線的解析式可得出C點的坐標，易證得△ABC是直角三角形，則EF⊥BC；△CEF和△BEF同高，則面積比等于底邊比，由此可得出CF=2BF；易證得△BEF∽△BAC，根據相似三角形的性質，即可求得BE、AB的比例關系，由此可求出E點坐標；
（3）PQ的長實際是直線AC與拋物線的函數值的差，可設P點橫坐標為m，用m表示出P、Q的縱坐標，然后可得出PQ的長與m的函數關系式，根據所得函數的性質即可求出PQ最大時，m的值，也就能求出此時P點的坐標．