Question

如圖，點A是△ABC和△ADE的公共頂點，∠BAC+∠DAE=180°，AB=AE，AC=AD，點M是DE的中點，直線AM交直線BC于點N．將△ADE繞點A旋轉，在旋轉的過程中，請探究∠ANB與∠BAE的數量關系，并加以證明．

Answer 1

【答案】分析：延長AM到F，使MF=AM，連接DF、EF．根據對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，可證四邊形ADFE是平行四邊形，根據平行四邊形的性質和已知條件可證△ABC≌△EAF，根據全等三角形的性質即可得到∠ANB與∠BAE的數量關系．
解答：解：∠ANB+∠BAE=180°．
證明：延長AM到F，使MF=AM，連接DF、EF．
∵點M是DE的中點，
∴DM=ME，
∴四邊形ADFE是平行四邊形，
∴AD∥FE，AD=EF，
∴∠DAE+∠AEF=180°，
∵∠BAC+∠DAE=180°，
∴∠BAC=∠AEF，
∵AC=AD，
∴AC=EF，
在△ABC與△EAF中，
∵，
∴△ABC≌△EAF，
∴∠B=∠EAF，
∵∠ANB+∠B+∠BAF=180°，
∴∠ANB+∠EAF+∠BAF=180°，
即∠ANB+∠BAE=180°．
點評：考查了全等三角形的判定與性質，平行四邊形的判定和性質，本題關鍵是作出輔助線構造全等三角形，綜合性較強，難度較大．