Question

【題目】如圖，已知AB是⊙O的直徑，點C在⊙O上，過點C的直線與AB的延長線交于點P，AC=PC，∠COB=2∠PCB．

（1）求證：PC是⊙O的切線；
（2）求證：BC= AB；
（3）點M是弧AB的中點，CM交AB于點N，若AB=8，求MNMC的值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵OA=OC，

∴∠A=∠ACO．

又∵∠COB=2∠A，∠COB=2∠PCB，

∴∠A=∠ACO=∠PCB．

又∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACO+∠OCB=90°．

∴∠PCB+∠OCB=90°．

即OC⊥CP，

∵OC是⊙O的半徑．

∴PC是⊙O的切線．

（2）證明：∵AC=PC，

∴∠A=∠P，

∴∠A=∠ACO=∠PCB=∠P．

又∵∠COB=∠A+∠ACO，∠CBO=∠P+∠PCB，

∴∠COB=∠CBO，

∴BC=OC．

∴BC= AB

（3）解：連接MA，MB，

∵點M是 的中點，

∴ = ，

∴∠ACM=∠BCM．

∵∠ACM=∠ABM，

∴∠BCM=∠ABM．

∵∠BMN=∠BMC，

∴△MBN∽△MCB．

∴ = ．

∴BM2=MNMC．

又∵AB是⊙O的直徑， = ，

∴∠AMB=90°，AM=BM．

∵AB=8，

∴BM=4 ．

∴MNMC=BM2=32．

【解析】（1）利用直徑上的圓周角是直角和圓的定義易證；
（2）利用等腰三角形的性質和直角三角形的性質來證明；
（3）連接MA，MB，由圓周角定理可得∠ACM=∠BCM，從而可證得△MBN∽△MCB．再利用相似三角形的對應邊成比例得到BM2=MNMC．在Rt△ABM中求出BM，即可得到結論.
【考點精析】掌握相似三角形的判定與性質是解答本題的根本，需要知道相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方．