Question

【題目】已知：如圖所示，在△ABC中，∠C=90°，BC=5cm，AC=7cm．兩個動點P、Q分別從B、C兩點同時出發，其中點P以1厘米/秒的速度沿著線段BC向點C運動，點Q以2厘米/秒的速度沿著線段CA向點A運動．

（1）P、Q兩點在運動過程中，經過幾秒后，△PCQ的面積等于4厘米2？經過幾秒后PQ的長度等于5厘米？

（2）在P、Q兩點在運動過程中，四邊形ABPQ的面積能否等于11厘米2？試說明理由．

（3）經過幾秒時以C、P、Q為頂點的三角形與△ABC相似？

Answer 1

【答案】(1) 經過1秒后，其面積等于4厘米2，當經過0秒或2秒后PQ=5；(2) 四邊形ABPQ的面積不能等于11厘米2,理由見解析；（3）經過 或秒后兩三角形相似，理由見解析

【解析】試題分析：（1）若使其面積為4，即S△PCQ=PCQC=4，代入數據求解即可；設經過t秒后PQ=5．由PC2+CQ2=PQ2，代入求解即可；

（2）若四邊形ABPQ的面積能等于11，即S△PCQ=﹣11=，建立方程，解方程看是否有解，若有，則存在；

（3）要使三角形相似，其對應邊成比例即可．

試題解析：解：（1）可設經x秒后其面積為4，即×（5﹣x）×2x=4，解得：x=1或x=4．

當x=4時，2x=8＞7，舍去．∴x=1．

設經過t秒后PQ=5．∵PC2+CQ2=PQ2．∵PC=5﹣t，CQ=2t，PQ=5，∴（5﹣t）2+（2t）2=52，解得：t=0或2，∴當經過0秒或2秒后PQ=5．

答：經過1秒后，其面積等于4厘米2，經過0秒或2秒后PQ=5．

（2）若四邊形ABPQ的面積能等于11厘米2，即S△PCQ=﹣11=，即×（5﹣x）×2x=，化簡得：2x2﹣10x+13=0，△=b2﹣4ac=10×10﹣4×2×13＜0，所以此方程無解．

故四邊形ABPQ的面積不能等于11厘米2．

（3）若兩個三角形相似，①當PQ∥AB時，有，解得：x=．

②當PQ不平行AB時，有，解得：x=．

即經過或秒后兩三角形相似．