Question

如圖，將一個等腰直角三角形按圖示方式依次翻折，若DE=a，則①DC′平分∠BDE；②BC長為（+2）a；③△B C′D是等腰三角形；④△CED的周長等于BC的長．則上述命題中正確是    （填序號）；

Answer 1

【答案】分析：根據等腰直角三角形的性質得到AB=AC=BC，∠ABC=∠C=45°，由于Rt△ABD折疊得到Rt△EBD，根據折疊的性質得∠DBE=∠ABC=22.5°，DE=AD=a，∠DEB=90°，易得∠CDE=45°，DC=a；又由于Rt△DC′E由Rt△DCE折疊得到，則∠C′DE=∠CDE=45°，∠DC′E=45°，可計算出∠BDC′=∠DC′E-∠DBE=22.5°，于是可判斷DC′不平分∠BDE；易得AC=AD+DC=a+a，利用BC=AC可得到BC長為（+2）a；由∠DBC=∠BDC′=22.5°可得到△B C′D是等腰三角形；計算△CED的周長為DE+EC+DC=a+a+a=（+2）a，則有△CED的周長等于BC的長．
解答：解：∵△ABC為等腰直角三角形，
∴AB=AC=BC，∠ABC=∠C=45°，
∵Rt△ABD折疊得到Rt△EBD，
∴∠DBE=∠ABC=22.5°，DE=AD=a，∠DEB=90°，
∴△DCE為等腰直角三角形，
∴∠CDE=45°，DC=a，
∵Rt△DC′E由Rt△DCE折疊得到，
∴∠C′DE=∠CDE=45°，∠DC′E=45°，
∴∠BDC′=∠DC′E-∠DBE=22.5°，
∴DC′不平分∠BDE，所以①錯誤；
∵AC=AD+DC=a+a，
∴BC=AC=（a+a）=（+2）a，所以②正確；
∵∠DBC=∠BDC′=22.5°，
∴△B C′D是等腰三角形，所以③正確；
∵△CED的周長=DE+EC+DC=a+a+a=（+2）a，
∴△CED的周長等于BC的長，所以④正確．
故答案為②③④．
點評：本題考查了折疊的性質：折疊前后兩圖形全等．也考查了等腰直角三角形的性質．