Question

如圖，四邊形ABCD的對角線AC、DB相交于點O，已知：AC=BD，∠OBC=∠OCB．
（1）求證：AB=DC；
（2）判別結論“四邊形ABCD一定是等腰梯形”是否正確，若正確請證明，若不正確請舉出一個反例．

Answer 1

分析：（1）求出OC=OB，求出AO=DO，根據SAS證△AOB≌△DOC，根據全等三角形的性質推出即可；
（2）根據等腰三角形性質推出∠OAD=∠ODA，∠OBC=∠OCB，根據三角形的內角和定理和對頂角相等得出∠ADO=∠OBC，推出AD∥BC，得出梯形ABCD，根據AB=DC即可得出等腰梯形ABCD．

解答：（1）證明：∵∠OBC=∠OCB，
∴OB=OC，
∵AC=BD，
∴OA=OD，
在△AOB和△DOC中
∵

OA=OD ∠AOB=∠DOC OB=OC

，
∴△AOB≌△DOC（SAS），
∴AB=DC．

（2）四邊形ABCD一定是等腰梯形，
證明：∵OA=OD，OB=OC，
∴∠OAD=∠ODA，∠OBC=∠OCB，
∵∠OAD+∠ODA+∠AOD=180°，∠OBC+∠OCB+∠BOC=180°，∠BOC=∠AOD，
∴∠ADO=∠OBC，
∴AD∥BC，
∴四邊形ABCD是梯形，
∵由（1）知：AB=DC，
∴梯形ABCD是等腰梯形．

點評：本題考查了等腰梯形的性質和判定，全等三角形的性質和判定，平行線的性質和判定，三角形的內角和定理等知識點，主要考查了學生的推理能力，題目比較好，是一道綜合性比較強的題目．