Question

如圖1，己知矩形ABCD中，BC=2，AB=4，點E從點A出發沿AB方向以每秒1個單位的速度向點B勻速運動，同時點F從點C出發沿BC的延長線方向以每秒2個單位的速度勻速運動，當E運動到點B時，點F停止運動．連接EF交DC于K，連接DE，DF，設運動時間為t秒．
（1）求證：△DAE∽△DCF；
（2）當DK=KF時，求t的值；
（3）如圖2，連接AC與EF相交于O，畫EH⊥AC于H．
①試探索點E、F在運動過程中，OH的長是否發生改變，若不變，請求出OH的長；若改變，請說明理由．
②當點O是線段EK的三等分點時，直接寫出tan∠FOC的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）求出==，∠DAE=∠DCF=90°，根據相似三角形的判定推出即可；
（2）根據相似得出∠ADE=∠CDF，求出EK=KF，證△FKC∽△FEB，得出=，求出即可；
（3）①點E、F在運動過程中，OH的長不變，理由是：作EM∥BC，交AC于M，設∠BAC=α，則tanα=，得出AE=t，CF=2t，求出EM=t，證△MEO∽△CFO，得出==，求出MO=CM，設HM=a，則EH=2a，AH=4a，求出MH=AM，推出OH=AC，求出AC即可求出OH；②tan∠FOC的值是或，理由是：根據△FKC∽△FEB求出KC=，根據△CKO∽△AEO得出=，當==時得出=2，求出t，即可得出AE長，根據△AEH∽△ACB，求出EH，當==時得出=，求出t，根據△AEH∽△ACB，求出EH的值，解直角三角形求出即可．
解答：解：（1）由題意，得AE=t，CF=2t．
∵矩形ABCD中，BC=AD=2，AB=CD=4，
∴==，
∵∠DAE=∠DCF=90°，
∴△DAE∽△DCF；

（2）∵△DAE∽△DCF，
∴∠ADE=∠CDF，
∵∠ADE+∠EDC=90°，
∴∠CDF+∠EDC=90°，即∠EDF=90°，
∵DK=KF，
∴∠KDF=∠KFD，
∵∠DEK+∠KFD=90°，∠EDK+∠KDF=90°，
∴∠DEK=∠EDK，
∴DK=EK，
∴EK=KF，
∵AB∥CD，
∴△FKC∽△FEB，
∴=，
t=1；

（3）①點E、F在運動過程中，OH的長不變，
理由是：作EM∥BC，交AC于M，設∠BAC=α，則tanα=，
∵AB⊥BC，
∴ME⊥AB，
∵AB⊥AC，
∴∠HEM=α，
∵AE=t，CF=2t，
∴EM=t，
∵∠EOM=∠FOC，∠MEO=∠CFO，
∴△MEO∽△CFO，
∴==，
∴MO=OC，
∴MO=CM，
設HM=a，則EH=2a，AH=4a，
∴MH=AM，
∴OH=OM+MH=CM+AM=AC，
在Rt△ABC中，AB=4，BC=2，由勾股定理得：AC=2，
∴OH=，
即點E、F在運動過程中，OH的長度不變，是；
②tan∠FOC的值是或，
理由是：∵四邊形ABCD是矩形，
∴CD∥AB，
∴△FKC∽△FEB，
∴=，
∴=，
∴KC=，
∵AB∥CD，
∴△CKO∽△AEO，
∴=，
當==時，
=2，
t=0（舍去），t=，
∵EH⊥AC，
∴∠EHA=∠ABC=90°，
∵∠EAH=∠BAC，
∴△AEH∽△ACB，
∴=，
∴=，
∴EH=，
∴tan∠FOC=tan∠EOH===；
當==時，
=，
t=0（舍去），t=，
∵EH⊥AC，
∴∠EHA=∠ABC=90°，
∵∠EAH=∠BAC，
∴△AEH∽△ACB，
∴=，
∴=，
∴EH=，
∴tan∠FOC=tan∠EOH===．
點評：本題考查了相似三角形的性質和判定，矩形性質和判定，直接直角三角形的應用，主要考查學生的推理能力，題目比較好，但是難度偏大．