Question

如圖，正方形AOCB的邊長為4，反比例函數的圖象過點E（3，4）．
（1）求反比例函數的解析式；
（2）反比例函數的圖象與線段BC交于點D，直線過點D，與線段AB相交于點F，求點F的坐標；
（3）連接OF，OE，探究∠AOF與∠EOC的數量關系，并證明．

Answer 1

【答案】分析：（1）設反比例函數的解析式為y=，把點E（3，4）代入即可求出k的值，進而得出結論；
（2）由正方形AOCB的邊長為4，故可知點D的橫坐標為4，點F的縱坐標為4．由于點D在反比例函數的圖象上，所以點D的縱坐標為3，即D（4，3），由點D在直線y=-x+b上可得出b的值，進而得出該直線的解析式，再把y=4代入直線的解析式即可求出點F的坐標；
（3）在CD上取CG=AF=2，連接OG，連接EG并延長交x軸于點H，由全等三角形的判定定理可知△OAF≌△OCG，△EGB≌△HGC（ASA），故可得出EG=HG．設直線EG的解析式為y=mx+n，把E（3，4），G（4，2）代入即可求出直線EG的解析式，故可得出H點的坐標，在Rt△AOF中，AO=4，AE=3，根據勾股定理得OE=5，可知OC=OE，即OG是等腰三角形底邊EF上的中線．所以OG是等腰三角形頂角的平分線，由此即可得出結論．
解答：解：（1）設反比例函數的解析式y=，
∵反比例函數的圖象過點E（3，4），
∴4=，即k=12．
∴反比例函數的解析式y=；

（2）∵正方形AOCB的邊長為4，
∴點D的橫坐標為4，點F的縱坐標為4．
∵點D在反比例函數的圖象上，
∴點D的縱坐標為3，即D（4，3）．
∵點D在直線y=-x+b上，
∴3=-×4+b，解得b=5．
∴直線DF為y=-x+5，
將y=4代入y=-x+5，得4=-x+5，解得x=2．
∴點F的坐標為（2，4）．

（3）∠AOF=∠EOC．
證明：在CD上取CG=AF=2，連接OG，連接EG并延長交x軸于點H．
∵AO=CO=4，∠OAF=∠OCG=90°，AF=CG=2，
∴△OAF≌△OCG（SAS）．
∴∠AOF=∠COG．
∵∠EGB=∠HGC，∠B=∠GCH=90°，BG=CG=2，
∴△EGB≌△HGC（ASA）．
∴EG=HG．
設直線EG：y=mx+n，
∵E（3，4），G（4，2），
∴，解得，．
∴直線EG：y=-2x+10．
令y=-2x+10=0，得x=5．
∴H（5，0），OH=5．
在Rt△AOE中，AO=4，AE=3，根據勾股定理得OE=5．
∴OH=OE．
∴OG是等腰三角形底邊EH上的中線．
∴OG是等腰三角形頂角的平分線．
∴∠EOG=∠GOH．
∴∠EOG=∠GOC=∠AOF，即∠AOF=∠EOC．
點評：本題考查的是反比例函數綜合題，涉及到正方形的性質、用待定系數法求一次函數及反比例函數的解析式、等腰三角形三線合一的性質等相關知識，難度較大．