Question

如圖，四邊形ABCD是等腰梯形，AD∥BC，M、N分別為AD、BC的中點，E、F分別是BM、CM的中點，
（1）求證：四邊形MENF是菱形；
（2）如果將已知中的“四邊形ABCD是等腰梯形”改為“四邊形ABCD是平行四邊形”，其余條件不變，那么四邊形MENF還是菱形嗎？答：______．（填“是”或“否”）

Answer 1

解：（1）證明：由三角形中位線定理可得EN∥CM且EN=CM，FN∥BM且FN=BM，
所以四邊形MENF是平行四邊形，
再由SAS可得△ABM≌△DCM，所以BM=CM，
所以EN=FN，
所以四邊形MENF是菱形；

（2）否．當四邊形ABCD是平行四邊形時，同樣由（1）可得，四邊形MENF是平行四邊形，
因為菱形的對角線互相垂直，等腰梯形可滿足菱形這一性質，而平行四邊形的對角線不存在這一性質，
所以條件改變后，四邊形MENF的對角線不垂直，
四邊形MENF不再是菱形．
分析：（1）M、N分別為AD、BC的中點，E、F分別是BM、CM的中點，因為題中涉及中點，可利用中位線定理進行求解．
（2）等腰梯形有一個對角線互相垂直的性質，而平行四邊形則不具備，而菱形的對角線也是互相垂直的，所以條件改變后，四邊形不再是菱形．
點評：熟練掌握菱形的性質及判定定理，掌握等腰梯形的性質．