Question

探究與發現：

探究一：我們知道，三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和．那么，三角形的一個內角與它不相鄰的兩個外角的和之間存在何種數量關系呢？

已知：如圖，∠FDC與∠ECD分別為△ADC的兩個外角，

試探究∠A與∠FDC+∠ECD的數量關系．

探究二：三角形的一個內角與另兩個內角的平分線所夾的鈍角之間有何種關系？

已知：如圖，在△ADC中，DP、CP分別平分∠ADC和∠ACD，試探究∠P與∠A的數量關系．

探究三：若將△ADC改為任意四邊形ABCD呢？

已知：如圖，在四邊形ABCD中，DP、CP分別平分∠ADC和∠BCD，試利用上述結論探究∠P與∠A+∠B的數量關系．

探究四：若將上題中的四邊形ABCD改為六邊形ABCDEF呢？

請直接寫出∠P與∠A+∠B+∠E+∠F的數量關系： _______________________________．

 

 

Answer 1

【答案】

(1) ∵∠FDC=∠A+∠ACD，∠ECD=∠A+∠ADC，   

∴∠FDC+∠ECD=∠A+∠ACD+∠A+∠ADC=180°+∠A．

(2) ∵DP平分∠ADC，

∴∠PDC=∠ADC．

同理，∠PCD=∠ACD．

∴180°−∠PDC−∠PCD=180°−(180°−∠A)=90°+∠A

(3)延長DA、CB交于點O．

由(2)中結論知，∠P=90°+∠O，由(1)中結論知，∠A+∠B=180°+∠O，

∴∠P=90°+(∠A+∠B−180°)=(∠A+∠B)．

(4) ∠P=(∠A+∠B+∠E+∠F)−180°．

【解析】（1）利用三角形一個外角等于和它不相鄰的兩個內角和的性質得出∠FDC+∠ECD=180°+∠A．

（2）利用角平分線和內角和的性質得出∠DPC=90°+∠A；

（3）利用（1）、（2）的結論求出∠P=  (∠A+∠B)；

（4）根據以上規律得出∠P= (∠A+∠B+∠E+∠F)−180°．