Question

如圖，已知正比例函數和反比例函數的圖象都經過點．
【小題1】求正比例函數和反比例函數的解析式；
【小題2】把直線OA向下平移后與反比例函數的圖象交于點，求的值和這個一次函數的解析式；
【小題3】第（2）問中的一次函數的圖象與軸、軸分別交于C、D，求過A、B、D三點的二次函數的解析式；
【小題4】在第（3）問的條件下，二次函數的圖象上是否存在點E，使四邊形OECD的面積與四邊形OABD的面積S滿足：？若存在，求點E的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【小題1】正比例函數的解析式為，反比例函數的解析式為．
【小題2】，一次函數的解析式為．
【小題3】二次函數的解析式為
【小題4】存在點，坐標為．解析:

（1）這個正比例函數的解析式為．·················································· （1分）
這個反比例函數的解析式為．························································ （2分）
（2）因為點在的圖象上，所以，則點．······ （3分）
設一次函數解析式為．
因為的圖象是由平移得到的，所以，即．
又因為的圖象過點，所以，解得，
一次函數的解析式為．························································· （5分）
（3）因為的圖象交軸于點，所以的坐標為．
設二次函數的解析式為．
         解得
這個二次函數的解析式為．·········································· （8分）

（4）交軸于點，點的坐標是，
如圖，
假設存在點，使．
四邊形的頂點只能在軸上方，，
 ．
，．···························································· （10分）
在二次函數的圖象上，．
解得或．
當時，點與點重合，這時不是四邊形，故舍去，
點的坐標為．