Question

【題目】如圖，拋物線交軸于，兩點，交軸于點，過拋物線的頂點作軸的垂線，垂足為點，作直線.

（1）求直線的解析式；

（2）點為第一象限內直線上的一點，連接，取的中點，作射線交拋物線于點，設線段的長為，點的橫坐標為，求與之間的函數關系式（不要求寫出自變量的取值范圍）；

（3）在（2）的條件下，在線段上有一點，連接，，線段交線段于點，若，，求的值.

Answer 1

【答案】（1）直線的解析式為.（2）.（3）或

【解析】

（1）根據拋物線可得對稱軸，可知點E的坐標，利用待定系數法可得一次函數BE的解析式；

（2）如圖，作輔助線，構建直角三角形，根據拋物線過點，可得a的值，計算y＝0時，x的值可得C和D兩點的坐標，從而知CD的值，根據P的橫坐標可表示其縱坐標，根據，，列方程為，可得結論；

（3）如圖，延長HF交x軸于T，先根據已知得∠FDO＝∠FTO，由等角的三角函數相等和（2）中的結論得：tan∠FDO＝tan∠FTO，則，可得ET和CT的長，令∠FDO＝∠FTO＝2α，表示角可得∠TCQ＝∠TQC，則TQ＝CT＝5，

設Q的坐標為，根據定理列方程可得：TS2＋QS2＝TQ2，，解得，；根據兩個t的值分別求n的值即可．

解：（1）拋物線的對稱軸為，

∴，

設直線的解析式為，

則，解得：，

∴直線的解析式為；

（2）如圖，過點作軸于點，過點作軸于點，

∵拋物線經過，∴，∴，

∴，

當時，，解得，，

∴，，∴，，∴，.

∵點在拋物線上，∴點的縱坐標為，

∴，，

∴，

∵軸，∴，∴，∴，

∴.

∴，，在中，.

∴，

∴.

（3）如圖，延長交軸于點，

∵，，∴，∴，

在中，，∴，∴.

∴，令，∴，

∴，，

∴.

∴.

∵點在直線上，∴可設的坐標為.

過點作軸于點，則，，

在中，，∴，

解得，.

①如圖2，當時，，，

在中，，∴，∴.

∴.

②如圖3，當時，，，

在中，，∴，∴，

∴.