Question

（2010•樂山）在△ABC中，D為BC的中點，O為AD的中點，直線l過點O．過A、B、C三點分別做直線l的垂線，垂足分別是G、E、F，設AG=h₁，BE=h₂，CF=h₃．
（1）如圖所示，當直線l⊥AD時（此時點G與點O重合）．求證：h₂+h₃=2h₁；
（2）將直線l繞點O旋轉，使得l與AD不垂直．
①如圖所示，當點B、C在直線l的同側時，猜想（1）中的結論是否成立，請說明你的理由；
②如圖所示，當點B、C在直線l的異側時，猜想h₁、h₂、h₃滿足什么關系．（只需寫出關系，不要求說明理由）

Answer 1

【答案】分析：（1）因為BE⊥l，GF⊥l，所以四邊形BCFE是梯形，又因為D是BC的中點，由梯形的中位線定理可得BE+CF=2DG，O為AD的中點，故可證h₂+h₃=2h₁；
（2）①過點D作DH⊥l，垂足為H，根據AAS易證△AGO≌△DHO，所以DH=AG，又因為D為BC的中點，由梯形的中位線性質可得2AG=BE+CF，故（1）結論成立；②h₁、h₂、h₃滿足關系：h₂-h₃=2h₁．
解答：（1）證明：∵BE⊥l，CF⊥l，
∴CF∥EB．
又由圖知，EF≠BC，
∴四邊形BCFE是梯形
又∵GD⊥l，D是BC的中點，
∴GD∥FC，
∴DG是梯形的中位線
∴BE+CF=2DG
又∵O為AD的中點
∴AG=DG
∴BE+CF=2AG
即h₂+h₃=2h₁；

（2）①成立；
證明：過點D作DH⊥l，垂足為H，
在△AGO和△DHO中，
∵
∴△AGO≌△DHO（AAS）
∴DH=AG，
∵DH⊥L，BE⊥L，CF⊥L，
∴BE∥DH∥FC，
又∵D為BC的中點，由梯形的中位線性質
∴2DH=BE+CF，即2AG=BE+CF
∴h₂+h₃=2h₁成立；
②h₁、h₂、h₃滿足關系：h₂-h₃=2h₁．
點評：此題把梯形、梯形的中位線定理和全等三角形的判定結合求解．考查學生綜合運用數學知識的能力．