Question

如圖：已知直線y=kx+1經過點A（3，﹣2）、點B（a，2），交y軸于點M，
（1）求a的值及AM的長；
（2）在x軸的負半軸上確定點P，使得△AMP成等腰三角形，請你直接寫出點P的坐標； （3）將直線AB繞點A逆時針旋轉45°得到直線AC，點D（﹣3，b）在AC上，連接BD，設BE是△ABD的高，過點E的射線EF將△ABD的面積分成2：3兩部分，交△ABD的另一邊于點F，求點F的坐標．

Answer 1

解：（1）∵點A（3，﹣2）在直線y=kx+1上，
∴﹣2=3x+1，
∴k=﹣1，
∴解析式為y=﹣x+1，
把點B坐標代入解析式， 得：2=﹣a+1，∴a=﹣1，
∴點B坐標為（﹣1，2），
令x=0，則y=1，
∴點M的坐標為（0，1），
∴AM==3；
（2）設P點坐標為（a，0），
①當AP=MP時，則△APM是等腰三角形，
∴（a﹣3）²+4=a²+1，解得：a=2，
∴P坐標（2，0）；不符合題意，故舍去，
②當AM=AP時，∴3=，
解得a=3﹣，
∴P坐標（3﹣，0）；
③當MP=AM=3時，點P的坐標為（﹣，0）；
（3）直線AB繞點A逆時針旋轉45°時，得到的直線AC與x軸平行，
∴D（﹣3，b），∴b=﹣2，
∵BE是△ABD的高，
∴點E坐標為（﹣1，﹣2），
∴AD=6，BE=4，
又S_△ABD=AD·BE=6×4=12，
EF將△ABD的面積分成2：3兩部分，
∴兩部分面積分別為12×=，12×=，
設點F在AB上，則F點坐標為（a，b），則×4×（2+b）=，
∴b=，
將F（a，）代入y=﹣x+1得，a=，同理可得另一種可能F（﹣，），
若F在AB上，F或F，
若F在BD上，由S_△BDE=DE·BE=4＜12×=，
故這種情況不存在．