Question

已知△ABC中，∠ACB=90°，AB邊上的高線CH與△ABC的兩條內角平分線AM、BN分別交于P、Q兩點，PM、QN的中點分別為E、F，求證：EF∥AB．

Answer 1

證明：連接CF、FH，
∵BN是∠ABC的平分線，
∴∠ABN=∠CBN，
又∵CH⊥AB，
∴∠CQN=∠BQH=90°-∠ABN=90°-∠CBN=∠CNB，
∴CQ=NC．
又F是QN的中點，
∴CF⊥QN，
∴∠CFB=90°=∠CHB，
∴C、F、H、B四點共圓．
又∠FBH=∠FBC，
∴FC=FH，
∴點F在CH的中垂線上，
同理可證，點E在CH的中垂線上，
∴EF⊥CH，
又AB⊥CH，
∴EF∥AB．
分析：連接CF、FH，因為BN平分∠ABC，利用互余關系、對頂角相等可證∠CNB=∠BQH=∠CQN，根據CF為△CQN的底邊上中線，可證CF⊥BN，可知∠CFB=90°=∠CHB，由此可證C、F、H、B四點共圓，根據BN平分∠ABC，可證FC=FH，即點F在CH的中垂線上，同理可證，點E在CH的中垂線上，故EF⊥CH，而AB⊥CH，可證EF∥AB．
點評：本題考查了線段垂直平分線的判斷，四點共圓的判斷與運用．關鍵是根據題意構造四點共圓的條件．本題具有一定的綜合性．