Question

如圖，正方形ABCD的邊長為2cm，在對稱中心O處有一釘子．動點P，Q同時從點A出發，點P沿A?B?C方向以每秒2cm的速度運動，到點C停止，點Q沿A?D方向以每秒1cm的速度運動，到點D停止．P，Q兩點用一條可伸縮的細橡皮筋連接，設x秒后橡皮筋掃過的面積為ycm²．
（1）當0≤x≤1時，求y與x之間的函數關系式；
（2）當橡皮筋剛好觸及釘子時，求x值；
（3）當1≤x≤2時，求y與x之間的函數關系式，并寫出橡皮筋從觸及釘子到運動停止時∠POQ的變化范圍；
（4）當0≤x≤2時，請在給出的直角坐標系中畫出y與x之間的函數圖象．

Answer 1

【答案】分析：（1）當0≤x≤1時，AP=2x，AQ=x，則y=AQ•AP=x²．
（2）根據題意，橡皮筋剛好觸及釘子時，橡皮筋掃過的面積正好是正方形的一半由此的求出x的值．
（3）要分兩種情況進行討論，一是橡皮筋剛觸及釘子時及其以前，二是觸及釘子，橡皮筋彎曲后兩種情況．第一種情況，按梯形的面積進行計算．第二種情況要從中間分成兩個梯形，然后按兩個梯形的面積進行計算．
（4）根據（1）（2）（3）中得出的不同x的取值下的y的函數式畫圖即可．
解答：解：（1）當0≤x≤1時，AP=2x，AQ=x，y=AQ•AP=x²，
即y=x²．

（2）當S_{四邊形ABPQ}=S_{正方形ABCD}時，橡皮筋剛好觸及釘子，
BP=2x-2，AQ=x，（2x-2+x）×2=×2²，∴x=．

（3）當1≤x≤時，AB=2，PB=2x-2，AQ=x，
∴y=×2=3x-2，
即y=3x-2．
作OE⊥AB，E為垂足．
當≤x≤2時，
BP=2x-2，AQ=x，OE=1，y=S_梯形BEOP+S_梯形OEAQ==，
即y=x．（6分）
90°≤∠POQ≤180°．

（4）如圖所示：
．
點評：本題為運動型綜合題，考查學生綜合運用知識解決問題的綜合能力．運動類題，要以特定靜止狀態，尋找量之間關系