Question

【題目】如圖， 是⊙的直徑，點是⊙上一點， 與過點的切線垂直，垂足為點，直線與的延長線相交于點，弦平分∠，交于點，連接．

（1）求證： 平分∠；

（2）求證：PC=PF；

（3）若，AB=14，求線段的長．

Answer 1

【答案】（1）證明過程見解析；（2）證明過程見解析；（2）24．

【解析】試題分析：（1）根據切線以及AD⊥PD得出OC∥AD，得到∠ACO=∠DAC，然后根據OC=OA得出∠ACO=∠CAO，從而得到∠DAC=∠CAO，即角平分線；（2）根據題意得出∠PFC=∠PCF，得出PC=PF；（3）根據題意得出△PAC∽△PCB，根據tan∠ABC可得，設PC=4k，PB=3k，根據Rt△POC得出PO=3k+7，根據AB的長度得出OC的長度，根據得出k的值，然后求出PC的長度．

試題解析：（1）∵PD切⊙O于點C，∴OC⊥PD

又AD⊥PD，∴OC∥AD．∴∠ACO＝∠DAC．

又OC＝OA，∴∠ACO＝∠CAO，

∴∠DAC＝∠CAO，即AC平分∠DAB．

（2）∵AD⊥PD，∴∠DAC＋∠ACD＝90°．

又AB為⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°．

∴∠PCB＋∠ACD＝90°，

∴∠DAC＝∠PCB．

又∠DAC＝∠CAO，∴∠CAO＝∠PCB．

∵CE平分∠ACB，∴∠ACF＝∠BCF，

∴∠CAO＋∠ACF＝∠PCB＋∠BCF，

∴∠PFC＝∠PCF，

∴PC＝PF

（3）∵∠PAC＝∠PCB，∠P＝∠P，

∴△PAC∽△PCB，

∴．

又tan∠ABC＝，

∴，

∴

設， ，則在Rt△POC中， ，

∵AB=14，

∴，

∵，

∴，

∴k＝6 （k＝0不合題意，舍去）．

∴．