Question

有一副直角三角板，在三角板ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=6，在三角板DEF中，∠FDE=90°，DF=4，DE=．將這副直角三角板按如圖1所示位置擺放，點B與點F重合，直角邊BA與FD在同一條直線上．現固定三角板ABC，將三角板DEF沿射線BA方向平行移動，當點F運動到點A時停止運動．
（1）如圖2，當三角板DEF運動到點D到點A重合時，設EF與BC交于點M，則∠EMC=______度；
（2）如圖3，當三角板DEF運動過程中，當EF經過點C時，求FC的長；
（3）在三角板DEF運動過程中，設BF=x，兩塊三角板重疊部分的面積為y，求y與x的函數解析式，并求出對應的x取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）如題圖2所示，由三角形的外角性質可得；
（2）如題圖3所示，在Rt△ACF中，解直角三角形即可；
（3）認真分析三角板的運動過程，明確不同時段重疊圖形的變化情況：
（I）當0≤x≤2時，如答圖1所示；
（II）當2＜x≤6-時，如答圖2所示；
（III）當6-＜x≤6時，如答圖3所示．
解答：解：（1）如題圖2所示，
∵在三角板DEF中，∠FDE=90°，DF=4，DE=，
∴tan∠DFE==，∴∠DFE=60°，
∴∠EMC=∠FMB=∠DFE-∠ABC=60°-45°=15°；

（2）如題圖3所示，當EF經過點C時，
FC====；

（3）在三角板DEF運動過程中，
（I）當0≤x≤2時，如答圖1所示：

設DE交BC于點G．
過點M作MN⊥AB于點N，則△MNB為等腰直角三角形，MN=BN．
又∵NF==MN，BN=NF+BF，
∴NF+BF=MN，即MN+x=MN，解得：MN=x．
y=S_△BDG-S_△BFM
=BD•DG-BF•MN
=（x+4）²-x•x
=x²+4x+8；
（II）當2＜x≤6-時，如答圖2所示：

過點M作MN⊥AB于點N，則△MNB為等腰直角三角形，MN=BN．
又∵NF==MN，BN=NF+BF，
∴NF+BF=MN，即MN+x=MN，解得：MN=x．
y=S_△ABC-S_△BFM
=AB•AC-BF•MN
=×6²-x•x
=x²+18；
（III）當6-＜x≤6時，如答圖3所示：

由BF=x，則AF=AB-BF=6-x，
設AC與EF交于點M，則AM=AF•tan60°=（6-x）．
y=S_△AFM=AF•AM=（6-x）•（6-x）=x²-x+．
綜上所述，y與x的函數解析式為：
y=．
點評：本題是運動型綜合題，解題關鍵是認真分析三角板的運動過程，明確不同時段重疊圖形形狀的變化情況．在解題計算過程中，除利用三角函數進行計算外，也可以利用三角形相似，殊途同歸．