Question

已知關于x的方程kx²+（3k+1）x+3=0．
（1）求證：無論k取任何實數時，方程總有實數根；
（2）若二次函數y=kx²+（3k+1）x+3的圖象與x軸兩個交點的橫坐標均為整數，且k為正整數，求k值；
（3）在（2）的條件下，設拋物線的頂點為M，直線y=-2x+9與y軸交于點C，與直線OM交于點D．現將拋物線平移，保持頂點在直線OD上．若平移的拋物線與射線CD（含端點C）只有一個公共點，求它的頂點橫坐標的值或取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）分k=0時，方程為一元一次方程，有解，k≠0時，表示出根的判別式，再根據非負數的性質判斷出△≥0，得到一定有實數根；
（2）令y=0，解關于x一元二次方程，求出二次函數圖象與x軸的兩個交點的橫坐標都是整數求出k值為1；
（3）先根據（2）中的k值寫出二次函數解析式并整理成頂點式形式，然后寫出點P的坐標，然后寫出直線OP的解析式，再根據平移的性質設平移后的拋物線頂點坐標為（h，h），然后寫出拋物線的頂點式形式為y=（x-h）²+h，再分①拋物線經過點C時，然后把點C的坐標代入拋物線求出h的值，再根據函數圖象寫出h的取值范圍；②直線與拋物線只有一個交點時，聯立直線與拋物線解析式消掉未知數y，利用根的判別式△=0列式求出h的值，然后求出交點坐標，從而得解．
解答：（1）證明：①當k=0時，方程為x+3=0，所以x=-3，方程有實數根，
②當k≠0時，△=（3k+1）²-4k•3，
=9k²+6k+1-12k，
=9k²-6k+1，
=（3k-1）²≥0，
所以，方程有實數根，
綜上所述，無論k取任何實數時，方程總有實數根；

（2）令y=0，則kx²+（3k+1）x+3=0，
解關于x的一元二次方程，得x₁=-3，x₂=，
∵二次函數的圖象與x軸兩個交點的橫坐標均為整數，且k為正整數，
∴k=1；

（3）由（2）得拋物線的解析式為y=x²+4x+3，
配方得y=（x+2）²-1，
∴拋物線的頂點M（-2，-1），
∴直線OD的解析式為y=x，
于是設平移后的拋物線的頂點坐標為（h，h），
∴平移后的拋物線解析式為y=（x-h）²+h，
①當拋物線經過點C時，令x=0，則y=9，
∴C（0，9），
∴h²+h=9，
解得h=，
∴當 ≤h＜時，平移后的拋物線與射線CD只有一個公共點；
②當拋物線與直線CD只有一個公共點時，
由方程組，
消掉y得，x²+（-2h+2）x+h²+h-9=0，
∴△=（-2h+2）²-4（h²+h-9）=0，
解得h=4，
此時拋物線y=（x-4）²+2與射線CD唯一的公共點為（3，3），符合題意，
綜上所述：平移后的拋物線與射線CD只有一個公共點時，頂點橫坐標的值或取值范圍是h=4或≤h＜．
點評：本題是二次函數的綜合題型，主要考查了根的判別式，二次函數與x軸的交點問題，二次函數與不等式的關系，（3）根據CD是射線，要分情況討論．