Question

如圖，AB是⊙O的直徑，AF是⊙O切線，CD是垂直于AB的弦，垂足為E，過點C作DA的平行線與AF相交于點F，CD=，BE=2．求證：
（1）四邊形FADC是菱形；
（2）FC是⊙O的切線．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先連接OC，由垂徑定理，可求得CE的長，又由勾股定理，可求得半徑OC的長，然后由勾股定理求得AD的長，即可得AD=CD，易證得四邊形FADC是平行四邊形，繼而證得四邊形FADC是菱形；
（2）首先連接OF，易證得△AFO≌△CFO，繼而可證得FC是⊙O的切線．
解答：證明：（1）連接OC，
∵AB是⊙O的直徑，CD⊥AB，
∴CE=DE=CD=×4=2，
設OC=x，
∵BE=2，
∴OE=x-2，
在Rt△OCE中，OC²=OE²+CE²，
∴x²=（x-2）²+（2）²，
解得：x=4，
∴OA=OC=4，OE=2，
∴AE=6，
在Rt△AED中，AD==4，
∴AD=CD，
∵AF是⊙O切線，
∴AF⊥AB，
∵CD⊥AB，
∴AF∥CD，
∵CF∥AD，
∴四邊形FADC是平行四邊形，
∴?FADC是菱形；

（2）連接OF，
∵四邊形FADC是菱形，
∴FA=FC，
在△AFO和△CFO中，
，
∴△AFO≌△CFO（SSS），
∴∠FCO=∠FAO=90°，
即OC⊥FC，
∵點C在⊙O上，
∴FC是⊙O的切線．
點評：此題考查了切線的判定與性質、菱形的判定與性質、垂徑定理、勾股定理以及全等三角形的判定與性質．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數形結合思想的應用．