Question

一元二次方程指：含有一個未知數，且未知數的最高次數為2的等式，求一元二次方程x²-4x-5=0解的方法如下：第一步：先將等式左邊關于x的項進行配方，（x-2）²-4-5=0，第二步：配出的平方式保留在等式左邊，其余部分移到等式右邊，（x-2）²=9；第三步：根據平方的逆運算，求出x-2=3或-3；第四步：求出x．
類比上述求一元二次方程根的方法，（1）解一元二次方程：9x²+6x-8=0；（2）求代數式9x²+y²+6x-4y+7的最小值．

Answer 1

分析：（1）方程兩邊都除以9變形后，常數項移到右邊，兩邊都加上一次項系數一半的平方，左邊化為完全平方式，右邊合并，開方后轉化為兩個一元一次方程來求解；
（2）多項式常數項7分為3+4，重新結合后，利用完全平方公式變形，根據完全平方式大于等于0，即可求出多項式的最小值．

解答：解：（1）9x²+6x-8=0，
變形得：x²+

2

3

x=

8

9

，
配方得：x²+

2

3

x+

1

9

=1，即（x+

1

3

）²=1，
開方得：x+

1

3

=±1，
解得：x₁=

2

3

，x₂=-

4

3

；
（2）9x²+y²+6x-4y+7=9（x²+

2

3

x+

1

9

）+（y²-4y+4）+2=9（x+

1

3

）²+（y-2）²+2，
當x=-

1

3

，y=2時，原式取最小值2．

點評：此題考查了配方法的應用，熟練掌握完全平方公式是解本題的關鍵．