Question

如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，點D是AB的中點，BE平分∠ABC，分別交AC、CD于點E、F，過點E作EG∥AB，分別交BC、CD于點G、O，連接DG．下列結論：
①EG=AE；②∠BGD=∠BDG；③S_△ABE=2S_△CBE；④DF=BG；⑤AC=（+1）CF．
其中正確結論的個數為（ ）

A．2個
B．3個
C．4個
D．5個

Answer 1

【答案】分析：過點E作EH⊥AB于H，根據角平分線上的點到角的兩邊的距離相等可得EH=EC，然后判斷出△ABC、△AEH和△ECG都是等腰直角三角形，根據等腰直角三角形的性質可得AE=EH，EG=EC，從而得到EG=AE，判斷出①正確；根據等腰直角三角形的性質，BG=EG=CG，BD=（CG+CG），求出BG≠BD，所以∠BGD≠∠BDG，判斷出②錯誤；AE=EH=CE，根據等高的三角形的面積的比等于底邊的比求出S_△ABE=S_△CBE，判斷出③錯誤；求出△BDF和△BCE相似，根據相似三角形對應邊成比例求出==，根據角平分線的定義求出∠CBE=22.5°，然后求出∠BEG=22.5°，從而得到∠CBE=∠BEG，根據等角對等邊可得BG=EG，再根據EG=CE整理即可得到DF=BG，判斷出④正確；根據等腰直角三角形的性質可得BC=CD，再根據CF=CD-DF整理即可得解，判斷出⑤正確．
解答：解：如圖，過點E作EH⊥AB于H，
∵BE平分∠ABC，
∴EH=EC，
∵∠ACB=90°，AC=BC，EG∥AB，
∴△ABC、△AEH和△ECG都是等腰直角三角形，
∴AE=EH，EG=EC，
∴EG=AE，故①正確；

由等腰直角三角形的性質可得，BG=EG=CG，BD=（CG+CG）=（+1）CG，
∴BG≠BD，
∴∠BGD≠∠BDG，故②錯誤；

又∵AE=EH=CE，
∴S_△ABE=S_△CBE，故③錯誤；

∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE=22.5°，
∵點D是AB的中點，
∴CD⊥AB，
∴∠BDF=∠ACB=90°，
∴△BDF∽△BCE，
∴==，
又∵∠BEG=∠CGE-∠CBE=45°-22.5°=22.5°，
∴∠CBE=∠BEG，
∴BG=EG，
又∵EG=CE，
∴DF=CE=×BG=BG，故④正確；

由等腰直角三角形的性質可得，BC=CD，
CF=CD-DF=BC-BG，
∵CG=EG=BG，
∴BC=BG+BG，
∴BG=（2-）BC，
∴CF=BC-（2-）BC=（-1）BC，
∴BC=CF=（+1）CF，
∴AC=（+1）CF，故⑤正確．
綜上所述，正確的有①④⑤共3個．
故選B．
點評：本題考查了相似三角形的判定與性質，等腰直角三角形的判定與性質，角平分線上的點到角的兩邊的距離相等的性質，等高的三角形的面積的比等于底邊的比，熟練掌握各性質并準確識圖是解題的關鍵，本題難點在于多次利用等腰直角三角形的性質．