Question

【題目】已知MN∥EF∥BC，點A、D為直線MN上的兩動點，AD＝a，BC＝b，AE∶ED＝m∶n；

(1)當點A、D重合，即a＝0時(如圖1)，試求EF.(用含m，n，b的代數式表示)

(2)請直接應用(1)的結論解決下面問題：當A、D不重合，即a≠0，

①如圖2這種情況時，試求EF.(用含a，b，m，n的代數式表示)

　　圖1

　　　圖2

　　　圖3

②如圖3這種情況時，試猜想EF與a、b之間有何種數量關系？并證明你的猜想．

Answer 1

【答案】（1）EF＝；（2）①EF＝；②猜想：EF＝，證明詳見解析.

【解析】

(1)由EF∥BC,即可證得△AEF∽△ABC,根據相似三角形的對應邊成比例,即可證得＝,根據比例變形,即可求得EF的值;
(2)①連接BD,與EF交于點H,由(1)知, HF＝，EH＝，又由EF＝EH＋HF，即可求得EF的值;
②連接DE,并延長DE交BC于G,根據平行線分線段成比例定理,即可求得BG的長,又由EF＝與GC＝BC－BG,即可求得EF的值.

解　(1)∵EF∥BC，

∴△AEF∽△ABC，

∴＝，

∵＝，

∴＝，

又BC＝b，

∴＝，

∴EF＝；

(2)①如圖2，連接BD，與EF交于點H，

由(1)知，HF＝，EH＝，

∵EF＝EH＋HF，

∴EF＝；

②猜想：EF＝，

證明：連接DE，并延長DE交BC于G，

由已知，得BG＝，

EF＝，

∵GC＝BC－BG，

∴EF＝(BC－BG)＝＝.