Question

【題目】已知：如圖，菱形ABCD，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，BE⊥DC，垂足為點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F．求證：
（1）△ABF∽△BED；
（2） = ．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，AB∥CD，

∴△ABF∽△CEF，

∵BE⊥DC，

∴∠FEC=∠BED，

由互余的關(guān)系得：∠DBE=∠FCE，

∴△BED∽△CEF，

∴△ABF∽△BED

（2）證明：∵AB∥CD，

∴ ，

∴ ，

∵△ABF∽△BED，

∴ ，

∴ =

【解析】（1）由菱形的性質(zhì)得出AC⊥BD，AB∥CD，得出△ABF∽△CEF，由互余的關(guān)系得：∠DBE=∠FCE，證出△BED∽△CEF，即可得出結(jié)論；（2）由平行線得出 ，由相似三角形的性質(zhì)得出 ，即可得出結(jié)論．
【考點(diǎn)精析】掌握菱形的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)是解答本題的根本，需要知道菱形的四條邊都相等；菱形的對(duì)角線互相垂直，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角；菱形被兩條對(duì)角線分成四個(gè)全等的直角三角形；菱形的面積等于兩條對(duì)角線長(zhǎng)的積的一半；相似三角形的一切對(duì)應(yīng)線段(對(duì)應(yīng)高、對(duì)應(yīng)中線、對(duì)應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方．