Question

如圖，二次函數y=-x²+2x+m的圖象與x軸的一個交點為B（-1，0），另一個交點為A，且與y軸交于點C．
（1）求m的值；
（2）求直線AC的函數解析式；
（3）該二次函數圖象上有點D（x，y），使S_△ABD=S_△ABC，求點D坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）將B點坐標代入拋物線的解析式中，即可求出m的值．
（2）首先由（1）的函數解析式，求出點A的坐標．在已知點A、C坐標的情況下，利用待定系數法確定直線AC的解析式．
（3）△ABD、△ABC中，若以AB為底進行討論，當它們的面積相等時，點C、D到線段AB的距離必然相等，根據這個特點先確定D點的縱坐標，再代入拋物線的解析式中進行求解即可．
解答：解：（1）將點B（-1，0）代入y=-x²+2x+m中，得：
-1-2+m=0，m=3
即m的值為3．

（2）由（1）知：拋物線的解析式 y=-x²+2x+3，當y=0時，
-x²+2x+3=0，解得：x₁=-1，x₂=3
∴A（3，0）、B（-1，0）．
設直線AC的解析式為：y=kx+b，有：
，
解得
故直線AC：y=-x+3．

（3）以AB為底，若S_△ABD=S_△ABC，則點C、D到直線AB的距離相等；
若設D（x，y），則y=±3，代入拋物線的解析式中，有：
y=3時，-x²+2x+3=3，解得：x₁=0、x₂=2，
∴D₁（2，3）；
y=-3時，-x²+2x+3=-3，解得：x₃=1+、x₄=1-
∴D₂（1+，-3）、D₃（1-，-3）．
綜上，點D的坐標為：（2，3），（+1，-3），（-+1，-3）．
點評：該題考查的內容較為簡單，主要涉及了函數解析式的確定和圖形面積的解法．解題過程中，要注意數形結合思想的應用，例如：最后一題中，通過圖示發現C、D兩點縱坐標的關系是突破題目的關鍵．