Question

（2010•蕭山區模擬）如圖，在平面直角坐標系中，矩形ABOC的邊BO在x軸正半軸上，邊CO在y軸的正半軸上，且AB=2，OB=2，矩形ABOC繞點O逆時針旋轉后得到矩形EFOD，且點A落在Y軸上的E點，點B的對應點為點F，點C的對應點為點D．
（1）求F，E，D三點的坐標；
（2）若拋物線y=ax²+bx+c經過點F，E，D，求此拋物線的解析式；
（3）在X軸上方的拋物線上求點Q的坐標，使得△QOB的面積等于矩形ABOC的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接AO，過D點作DH⊥x軸于H，過F作FG⊥x軸于G，由AB=2，OB=2，利用勾股定理可求出OA的長，根據旋轉的性質可求出E點的坐標；由銳角三角函數的定義可知∠AOB=30°，根據旋轉的性質可判斷出△AOB≌△EOF，進而求出F的坐標，同理可求出D點坐標．
（2）根據拋物線y=ax²+bx+c經過點F，E，D，用待定系數法即可求出拋物線的解析式．
（3）根據點Q在x軸的上方，可設三角形QOB的OB邊上的高為h，根據三角形及矩形的面積公式可求出h的值，代入拋物線的解析式即可求出Q點的坐標．
解答：解：（1）連接AO
∵矩形ABOC，AB=2，OB=2，
∴AO=4，
∵矩形ABOC繞點O逆時針旋轉后得到矩形EFOD，
A落在y軸上的點E，
∴AO=EO=4∴E（0，4），
過D點作DH⊥x軸于H，
∵∠DHO=∠ABO=90°，
∵∠AOB=∠EOF，∠EOF+∠DOE=90°，
∴∠AOB+∠DOE=90°，
∵∠DOH+∠DOE=90°，
∴∠DOH=∠AOB，
∴△DHO∽△ABO，
∴==
∵AB=2，OB=2，DO=2，AO=4，
∴DH=1，OH=
∴D（-，1），
同理得∴F（，3）．

（2）∵拋物線y=ax²+bx+c經過點F，E，D，
∴C=4，
∴，
求得：a=-，b=，c=4，
所求拋物線為：y=-x²+x+4．

（3）因為在x軸上方的拋物線上有點Q，使得三角形QOB的面積等于矩形BAOC的面積，
設三角形QOB的OB邊上的高為h，則×2×h=2×2，
所以h=4，
因為點Q在x軸上方的拋物線上，
所以Q（x，4），
∴4=-x²+x+4，x₁=0，x₂=，
所以Q的坐標是（0，4）或（，4）．
點評：本題考查的是圖形旋轉的性質及二次函數圖象上點的坐標特點，有一定的綜合性，但難度適中．