Question

（2010•廣安）如圖，直線y=-x-1與拋物線y=ax²+bx-4都經過點A（-1，0）、C（3，-4）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）動點P在線段AC上，過點P作x軸的垂線與拋物線相交于點E，求線段PE長度的最大值；
（3）當線段PE的長度取得最大值時，在拋物線上是否存在點Q，使△PCQ是以PC為直角邊的直角三角形？若存在，請求出Q點的坐標；若不存在．請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）已知拋物線圖象上的兩點坐標，可將其代入拋物線的解析式中，通過聯立方程組即可求得待定系數的值．
（2）首先要弄清的是PE的長，實際是直線AC與拋物線函數值的差，可設出P點橫坐標，根據直線AC和拋物線的解析式表示出P、E的縱坐標，進而得到關于PE與P點橫坐標的函數關系式，根據函數的性質即可求出PE的最大值．
（3）此題要分作兩種情況考慮：
①Rt△PCQ以P為直角頂點，根據直線AC的解析式，可求得直線PQ的解析式y=kx+b中k=1，已知了點P的坐標，即可求得直線PQ的解析式，聯立拋物線的解析式，可求得Q點的坐標；
②當Rt△PCQ以C為直角頂點時，方法同上．
解答：解：（1）∵A（-1，0）、C（3，-4）在拋物線y=ax²+bx-4上，
∴，
∴a=1，b=-3，
∴y=x²-3x-4．

（2）設動點P的坐標為（m，-m-1），則E點的坐標為（m，m²-3m-4），
∴PE=（-m-1）-（m²-3m-4），
=-m²+2m+3，
=-（m-1）²+4，
∵PE＞0，
∴當m=1時，線段PE最大且為4．

（3）假設存在符合條件的Q點；
當線段PE最大時動點P的坐標為（1，-2），
①當PQ⊥PC時，
∵直線PC的解析式為：y=-x-1
∴直線PQ的解析式可設為：y=x+b，
則有：-2=1+b，b=-3；
∴直線PQ的方程為y=x-3，
聯立
得點Q的坐標為：（2+，-1），（2-，--1）．
②當CQ⊥PC時，同理可求得直線CQ的解析式為y=x-7；
聯立拋物線的解析式得：，
解得，（舍去），
∴Q（1，-6）；
綜上所述，符合條件的Q點共有3個，坐標為：Q₁（2+，-1），Q₂（2-，--1），Q₃（1，-6）．
點評：此題主要考查了二次函數解析式的確定、二次函數最值的應用以及直角三角形的判定、函數圖象交點坐標的求法等知識；需要注意的是（3）題中，點P、C都有可能是直角頂點，要分類討論，以免漏解．