Question

【題目】【探索新知】
已知平面上有n（n為大于或等于2的正整數）個點A1 ， A2 ， A3 ， …An ， 從第1個點A1開始沿直線滑動到另一個點，且同時滿足以下三個條件：①每次滑動的距離都盡可能最大；②n次滑動將每個點全部到達一次；③滑動n次后必須回到第1個點A1 ， 我們稱此滑動為“完美運動”，且稱所有點為“完美運動”的滑動點，記完成n個點的“完美運動”的路程之和為Sn ．
（1）如圖1，滑動點是邊長為a的等邊三角形三個頂點，此時S3=；

（2）如圖2，滑動點是邊長為a，對角線（線段A1A2、A2A4）長為b的正方形四個頂點，此時S4= ．
【深入研究】
現有n個點恰好在同一直線上，相鄰兩點距離都為1，

（3）如圖3，當n=3時，直線上的點分別為A1、A2、A3 ．
為了完成“完美運動”，滑動的步驟給出如圖4所示的兩種方法：
方法1：A1→A3→A2→A1 ， 方法2：A1→A2→A3→A1 ．
①其中正確的方法為 ．
A．方法1 B．方法2 C．方法1和方法2
②完成此“完美運動”的S3= ．


（4）當n分別取4，5時，對應的S4= ， S5=
（5）若直線上有n個點，請用含n的代數式表示Sn ．

Answer 1

【答案】
（1）3a
（2）2a+2b
（3）A；4
（4）8；12
（5）

解：n 為奇數時：Sn=n﹣1+n﹣2+…+1+ ﹣1= ；

n 為偶數時：Sn=n﹣1+n﹣2+…+1+ =

【解析】解：（1）如圖1，∵滑動點是邊長為a的等邊三角形三個頂點，
∴S3=3a，
所以答案是：3a；（2）如圖2，∵滑動點是邊長為a，對角線長為b的正方形四個頂點，
∴S4=2a+2b，
所以答案是：2a+2b；（3）如圖4，①∵方法2 是錯的，不滿足第①個條件，每一次距離要是最大的，
∴方法1正確，
故選A；②如圖3，S3=2+1+1=4，
所以答案是：4；（4）根據條件：①每次滑動的距離都盡可能最大；②n次滑動將每個點全部到達一次；③滑動n次后必須回到第1個點A1 ， 可得：
S4=3+2+1+2=8，
S5=4+3+2+1+2=12，
所以答案是：8，12；