Question

已知矩形ABCD和點P，當點P在圖1中的位置時，則有結論：S_△PBC=S_△PAC+

S_△PCD   理由：過點P作EF垂直BC，分別交AD、BC于E、F兩點．

∵ S_△PBC+S_△PAD=BC·PF+AD·PE=BC（PF+PE）=BC·EF=S_矩形ABCD

又∵ S_△PAC+S_△PCD+S_△PAD=S_矩形ABCD

∴S_△PBC+S_△PAD=S_△PAC+S_△PCD+S_△PAD．

∴ S_△PBC=S_△PAC+S_△PCD．

請你參考上述信息，當點P分別在圖2、圖3中的位置時，S_△PBC、S_△PAC、S_△PCD又

有怎樣的數量關系?請寫出你對上述兩種情況的猜想，并選擇其中一種情況的猜想給

予證明．

 

Answer 1

【答案】

猜想結果：圖2結論S△PBC=S△PAC+S△PCD； 

圖3結論S△PBC=S△PAC-S△PCD（3分）

證明：如圖2，過點P作EF垂直AD，分別交AD、BC于E、F兩點．

∵ S△PBC=BC·PF=BC·PE+BC·EF                                  

=AD·PE+BC·EF=S△PAD+S矩形ABCD

S△PAC+S△PCD=S△PAD+S△ADC

=S△PAD+S矩形ABCD

∴ S△PBC=S△PAC+S△PCD

如果證明圖3結論可參考上面評分標準給分（12分）

【解析】分析圖2，先過點P作EF垂直AD，分別交AD、BC于E、F兩點，利用三角形的面積公式可知，經過化簡，等量代換，可以得到S_△PBC=S_△PAD+S_矩形ABCD，而S_△PAC+S_△PCD=S_△PAD+S_矩形ABCD，故有S_△PBC=S_△PAC+S_△PCD．