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如圖,一次函數y=ax+b的圖象與反比例函數y=的圖象交于A、B兩點,與x軸交于點C,與y軸交于點D,已知OA=,點B的坐標為(m,-2),tan∠AOC=
(1)求反比例函數、一次函數的解析式;
(2)求三角形ABO的面積;
(3)在y軸上存在一點P,使△PDC與△CDO相似,求P點的坐標.

【答案】分析:(1)過A作AE⊥x軸于E,由tan∠AOE=,得到OE=3AE,根據勾股定理即可求出AE和OE的長,即得到A的坐標,代入雙曲線即可求出k的值,得到解析式;把B的坐標代入反比例函數的解析式即可求出B的坐標,把A和B的坐標代入一次函數的解析式即可求出a、b的值,即得到答案.
(2)根據一次函數解析式算出D點坐標,可以得到OD的長,S△AOB=S△AOD+S△BOD,代入相應數值可得答案;
(3)過點C作CP⊥AB,交y軸于點P,因為在y軸上存在一點P,使得△PDC與△ODC相似,∠PDC和∠ODC是公共角,∠PCD=∠COD=90°,所以有△PDC∽△CDO,=而點C、D分別是一次函數y=x-1的圖象與x軸、y軸的交點,因此有C( ,0)、D(0,-1).OC=,OD=1,DC=進而可求出PD=,OP=.寫出點P的坐標.
解答:解:(1)過A作AE⊥x軸于E,
tan∠AOE=,
∴OE=3AE,
∵OA=,由勾股定理得:OE2+AE2=10,
解得:AE=1,OE=3,
∴A的坐標為(3,1),
∵A點在雙曲線上y=上,
∴1=,
∴k=3,
∴雙曲線的解析式y=;
∵B(m,-2)在雙曲y=上,
∴-2=,
解得:m=-,
∴B的坐標是(-,-2),
代入一次函數的解析式得:,
解得:,
則一次函數的解析式為:y=x-1;

(2)連接BO,
∵一次函數的解析式為:y=x-1;
∴D(0,-1),
∴S△AOB=S△AOD+S△BOD=×DO×3+×DO×=×1×3+×1×=

(3)過點C作CP⊥AB,交y軸于點P,
∵C,D兩點在直線y=x-1上,
∴C,D的坐標分別是:C(,0),D(0,-1).
即:OC=,OD=1,
∴DC=
∵△PDC∽△CDO,
=,
∴PD=,
又∵OP=DP-OD=-1=
∴P點坐標為(0,).
點評:本題主要考查了銳角三角函數的定義,用待定系數法求反比例函數的解析式,反比例函數圖象上點的坐標特征,用待定系數法一次函數的解析式,一次函數圖象上與坐標軸的交點,勾股定理,相似三角形的判定與性質,關鍵是求出反比例函數、一次函數的解析式.
練習冊系列答案
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m
x
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OC
OA
=
1
2

(1)求點D的坐標;
(2)求一次函數與反比例函數的解析式;
(3)根據圖象寫出當x>0時,一次函數的值大于反比例函數的值的x的取值范圍.

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2
x
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kx
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4x
(x>0)
的圖象交于點C,CD⊥x軸于點D,求四邊形OBCD的面積.

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