Question

已知：如圖，四邊形ABCD是菱形，∠A=60°，直線EF經(jīng)過點C，分別交AB、AD的延長線于E、F兩點，連接ED、FB相交于點H．
（1）找出圖中與△BEC相似的三角形，并選一對給予證明；
（2）如果菱形的邊長是3，DF=2，求BE的長；
（3）請說明BD²=DH•DE的理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)相似三角形的判定定理，即可找到△BEC∽△DCF；△BEC∽△AEF；
（2）根據(jù)相似三角形的判定證明△BCE∽△AFE，再根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊的比相等求解；
（3）利用菱形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)以及相似三角形的判定以及性質(zhì)可以證明△BHD∽△EBD，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可證明．

解答：解：（1）△BEC∽△DCF；△BEC∽△AEF，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴BC∥AF，
∴△BEC∽△AEF；

（2）∵四邊形ABCD是菱形，
∴BC∥AD，
∴△BCE∽△AFE，
∴

BE

AE

=

BC

AF

，
即

BE

3+BE

=

3

5

，
即BE=4.5；

（3）∵△BEC∽△DCF，
∴

BE

CD

=

BC

DF

，
在菱形ABCD中，∠A=60°，
∴AB=AD=BD=BC=CD，∠EBD=∠BDF=120°，
∵

BE

CD

=

BC

DF

，
∴

BE

BD

=

BD

DF

，
∴△BED∽△DBF，
∴∠BED=∠DBF，
又∵∠BDE為公共角，
∴△BHD∽△EBD，
∴

DH

BD

=

BD

DE

，
即BD²=DH•DE．

點評：本題綜合考查了相似三角形的判定及性質(zhì)、等邊三角形的判定及性質(zhì)以及菱形的性質(zhì)，在第三題證明過程中，注意等量代換的應(yīng)用．