Question

如圖₁，已知Rt△ABC中，∠CAB=30°，BC=5．過點A作AE⊥AB，且AE=15，連接BE交AC于點P．
（1）求PA的長；
（2）以點A為圓心，AP為半徑作⊙A，試判斷BE與⊙A是否相切，并說明理由；
（3）如圖₂，過點C作CD⊥AE，垂足為D．以點A為圓心，r為半徑作⊙A；以點C為圓心，R為半徑作⊙C．若r和R的大小是可變化的，并且在變化過程中保持⊙A和⊙C相切，且使D點在⊙A的內部，B點在⊙A的外部，求r和R的變化范圍．

Answer 1

解：（1）∵在Rt△ABC中，∠CAB=30°，BC=5，
∴AC=2BC=10；
∵AE∥BC，
∴△APE∽△CPB，
∴PA：PC=AE：BC=3：1，
∴PA：AC=3：4，
PA=．
（2）BE與⊙A相切；
∵在Rt△ABE中，AB=5，AE=15，
∴tan∠ABE=，
∴∠ABE=60°；
又∵∠PAB=30°，
∴∠ABE+∠PAB=90°，
∴∠APB=90°，
∴BE與⊙A相切；
（3）因為AD=5，AB=5，所以r的變化范圍為5＜r＜5；
當⊙A與⊙C外切時，R+r=10，所以R的變化范圍為10﹣＜R＜5；
當⊙A與⊙C內切時，R﹣r=10，所以R的變化范圍為15＜R＜10+5．